Graph III (Creación de gráficas)

7. Estudio de ecuaciones de segundo grado

Hemos visto hasta ahora la representación y estudio de las funciones más simples: constantes y rectas. Ampliemos nuestro conocimiento con el estudio de funciones con polinomios de segundo grado.

Toda función con polinomio de segundo grado es de la forma:, donde a, b y c son números reales.

Asociada a toda función de este tipo existe una ecuación de segundo grado:y al igual que antes a, b, y c son números reales. Estos tres números son llamados los coeficientes de la ecuación. Dependiendo de si alguno de ellos vale cero, es nulo, podemos tener los siguientes casos:

• , es decir b y c son nulos. Por tanto

• , es decir c es nulo. Por tanto

• , ningún coeficiente es nulo. Por tanto

• , es decir b es nulo. Por tanto

Vamos a estudiar los cuatro apartados más adelante haciendo un ejemplo concreto de cada uno. Pero antes de seguir, lo primero que debemos tener en cuenta es la forma en que tendremos que escribir esta función en nuestro programa. Ese x elevado a 2 tal y como aparece en la ecuación no es posible insertarlo directamente en la casilla Ecuación de la función de la ventana Insertar ecuación. La forma de escribir x elevado a 2 se hace pulsando en el orden que se indican las siguientes teclas: la de x, luego a la vez la de mayúsculas y la del acento circunflejo ^ , después la barra espaciadora y por último la del 2.

Si hemos hecho estos pasos nos aparecerá reflejado en la casilla x^2.

A partir de ahí si hay algo más que escribir, será tal y como ya sabemos de ejemplos anteriores y tras pulsar en el botón OK lo resultante será la representación gráfica de una ecuación de segundo grado.

Caso ax²=0

Empezaremos con el caso más sencillo de este tipo haciendo que a = 1, por lo que la función tendrá esta forma. Luego la ecuación asociada será.

Creemos una nuevo archivo y al igual que hicimos en ejercicios anteriores para crear esta función, pulsemos en el botón Insertar una nueva función (el quinto por la izquierda de la barra de herramientas) para indicar la ecuación (tal y como hemos visto en la página anterior). Tras pulsar en OK la gráfica será así:

Observamos por la gráfica que esta función siempre toma valores positivos (y a mayor número, mayor valor de la función) ya que se queda en la zona superior (la positiva) del eje Y. Además siguiendo el trazado de la gráfica, vemos que va descendiendo el valor de la función conforme nos acercamos al eje Y por el lado izquierdo, y que luego en cuanto nos alejamos por la derecha (tomamos grandes valores positivos) la función aumenta considerablemente. Ese cambio de sentido en la gráfica hace que exista un lugar (un punto) en el que la función valga menos que en cualquier otra parte. En dicho punto la función alcanza lo que se dice su mínimo absoluto.

El valor (el punto) que deseamos calcular, y fijándonos en la gráfica, coincide con la intersección del trazado de la función y los ejes de coordenadas. Estos cortes sí que somos capaces de averiguarlos usando las herramientas de que dispone el programa y que hemos visto en casos anteriores.

Seleccionamos de la barra de herramientas el botón Evaluar la función seleccionada y elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Eje-x ¿Sale reflejado algún valor? No, las casillas se quedan en blanco. Es un fallo del programa.

¿Qué podemos hacer? Dejamos pendiente del apartado dedicado a rectas una opción en el recuadro inferior izquierdo llamada Extremo. Ésta nos averigua los posibles mínimos y máximos de la función que estemos estudiando. Procedamos a utilizarla.

Teniendo seleccionado de la barra de herramientas el botón Evaluar la función seleccionada, elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Extremo ¿Nos aparece algún valor? Sí, en este caso aparece el punto (0 , 0) como el lugar en que la función toma su mínimo.

Esta es la forma más sencilla pero también podríamos haber utilizado otras. Retomemos la idea anterior de la intersección y pensemos un poco.

Para que la gráfica corte al eje X la función tiene que valer cero, es deciry recordemos que un número “elevado al cuadrado” significa multiplicar el número por sí mismo. El único número real que al multiplicarlo por él mismo valga cero es, lógicamente, el cero. Luego el punto de corte con el eje X tiene de coordenadas (0 , 0).

También podríamos haberlo calculado utilizando la fórmula tradicional para la resolución de ecuaciones de segundo grado:

En nuestro ejemplo a = 1, b = 0 y c = 0. Sustituyendo en la ecuación y haciendo cada caso por su lado (positivo y negativo) tenemos:

Tenemos dos casos (uno sumando 0 y otro restando 0) que dan el mismo resultado x = 0. Es decir la solución de la ecuación de segundo grado es lo que se llama una raíz doble, dos veces el mismo número.

Luego, el punto de corte (que es un número real) de la función con el eje X es la solución a la ecuación de segundo grado. En nuestro caso cuando x = 0 y para dicho valor la función vale. Por tanto las coordenadas del punto de corte es (0 , 0).

En resumidas cuentas podemos decir que: el punto de corte con el eje X coincide con el punto de corte con el eje Y y el valor mínimo de la función.

Caso ax²+bx=0

Pasemos al estudio de una función en la que ni a ni b son nulos y c = 0 (cuando ocurre esta última igualdad, se suele decir que el término independiente es cero).

Para que no sea muy difícil en nuestro caso tanto a como b valdrán 1, por lo que la función tendrá esta forma. Luego la ecuación asociada será.

Creemos una nuevo archivo y pulsemos en el botón Insertar una nueva función (el quinto por la izquierda de la barra de herramientas) para indicar la ecuación. Tras pulsar en OK la gráfica será así:

Observamos que es similar a la gráfica anterior: decrece conforme se acerca al eje Y y aumenta según se aleja de él. Como diferencias destacables vemos que corta al eje Y en sólo un punto, al eje X en dos y su mínimo es un punto que no coincide con ninguno de ellos. Calculemos las coordenadas de todos estos puntos.

Teniendo seleccionado de la barra de herramientas el botón Evaluar la función seleccionada, elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Extremo. Aparece el punto (-0,5 , -0,25) como el lugar en que la función toma su mínimo.

Con respecto al punto de corte con el eje Y bastará con que elijamos del recuadro inferior izquierdo la opción Función (seguimos teniendo seleccionado el botón Evaluar la función seleccionada) y escribimos 0 en la primera casilla del recuadro inferior. Obtenemos que. Luego el punto de corte con el eje Y tiene de coordenadas (0 , 0).

Por último veamos los puntos de corte con el eje X, o lo que es lo mismo las soluciones de la ecuación.

Elegimos esta vez la opción Eje-x de la casilla inferior. Pulsamos una vez a la izquierda del eje Y y obtenemos el punto (0 , 0). Si pulsamos a la derecha del eje Y sale como resultado el punto (-1 , 0).

En este caso coincide el punto de corte con el eje Y con uno de los que intersecan al eje X.

Los puntos de intersección con el eje X también podríamos haberlos calculado utilizando la fórmula:

En nuestro ejemplo a = 1, b = 1 y c = 0. Sustituyendo en la ecuación y haciendo cada caso por su lado (positivo y negativo) tenemos:

Por lo que las coordenadas de los puntos son (0 , 0) y (-1 , 0), tal y como averiguamos antes.

Si conocemos las soluciones de una ecuación es posible escribir ésta en función de sus raíces.

Si suponemos que una ecuación tiene por soluciones d y e, podemos escribir la ecuación como donde a es el número que acompaña a. Si hacemos los productos y simplificamos veremos que es igual a la original. Hagámoslo en este caso con las soluciones obtenidas, -1 y 0.

Escribimos la ecuación tal y como hemos indicado,

Si hacemos la multiplicación final tendremos,

Podemos ver que es la ecuación original.

Como punto final del estudio de este apartado y recordatorio de una de las herramienta que hemos visto antes calcularemos un área.

Mirando la gráfica podemos observar que hay una región delimitada por el eje X y la función y que está entre los números -1 y 0 (las intersecciones entre la función y el eje X).

Marcamos la función de la columna de la izquierda y pulsamos en el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva (séptimo por la derecha de la barra de herramientas). Aparece en la parte inferior izquierda un recuadro, en cuya casilla Desde escribiremos -1 y en la de Hasta pondremos 0. Según el programa su área sería de -0,1667 unidades cuadradas. Como sabemos que todas las áreas son positivas, el valor correcto es 0,1667 unidades cuadradas.

Caso ax²+bx+c=0

Nuestra función de segundo grado será la siguiente:

La ecuación asociadatiene por coeficientes a = 1, b = 1 y c = -2.

Como siempre, pulsamos en el botón Insertar ecuación y rellenamos la casilla Ecuación de la función con la ecuación. Tras pulsar en OK nos saldrá la siguiente gráfica:

Podemos observar en la gráfica que esta función siempre toma valores positivos (y a mayor número, mayor valor de la función) salvo para una pequeña parte que se encuentra en la zona negativa del eje Y. Esta zona está comprendida entre los puntos en que la gráfica corta al eje X. Averigüemos dichas intersecciones utilizando la herramienta que ya hemos visto en ejemplos anteriores.

Seleccionamos de la barra de herramientas el botón Evaluar la función seleccionada y elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Eje-x. Con respecto al eje Y hay un punto a cada lado, si pulsamos en la parte izquierda nos aparecerá el valor -2 y si nos vamos al lado derecho nos dará como valor 1. Es decir, los puntos de corte con el eje X son (-2 , 0) y (1 , 0).

Estos dos valores (-2 y 1) también podríamos haberlos calculado utilizando la fórmula tradicional para la resolución de ecuaciones de segundo grado:

En nuestro ejemplo a = 1, b = 1 y c = -2. Sustituyendo en la ecuación y haciendo cada caso por su lado (positivo y negativo) tenemos:

Luego, los puntos de corte (que son números reales) de la función con el eje X son las soluciones a la ecuación de segundo grado. Como consecuencia, si una función no corta al eje X su ecuación no puede tener soluciones.

Por tanto, también podemos escribir la ecuación asociada a la función de la siguiente forma: .

Sigamos estudiando la función y su trazado. La gráfica de esta función tiene un punto situado más bajo que ningún otro, es lo que se llama mínimo absoluto de la función. Vemos que cerca del eje Y la gráfica pasa de decrecer a crecer. Existe un número real cuyo valor en la función es el menor de todos los posibles. El programa nos permite calcular las coordenadas de dicho punto.

Teniendo seleccionado de la barra de herramientas el botón Evaluar la función seleccionada, elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Extremo. Pulsamos en cualquier parte de la gráfica y obtenemos el punto (-0,5 , -2,25). El número real -0,5 es el que toma el mínimo valor en esta función, -2,25.

Al igual que en casos anteriores calculemos el área de alguna región del plano. La más sencilla es la encerrada por la función entre los puntos de corte con el eje X.

Seleccionamos de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Como los cortes con el eje X son en -2 y 1, éstos serán los valores con los que rellenaremos las casillas del recuadro inferior izquierdo. El resultado que aparece es -4,5 unidades cuadradas y como ya sabemos de antes, el valor correcto es 4,5 unidades cuadradas.

¿Cuánto vale el área definida por la función entre los valores -4 y 1?

Si lo hacemos directamente el valor que obtendremos será , pero no es correcto puesto que estamos sumando un área positiva (entre -4 y -2) a un área negativa (entre -2 y 1). Deberemos calcular ambas áreas y luego sumarlas bien. El área entre -4 y -2 mide 8,6667 unidades cuadradas y la situada entre -2 y 1 vale 4,5 u.c., por lo que el área total mide:

8,6667 + 4,5 = 12,1667 unidades cuadradas

Caso ax²+c=0

Insertemos una nueva función de segundo grado en este archivo y trabajemos con ambas a la vez.

Nuestra nueva función es la que tiene por ecuación:

La ecuación asociadano tiene término en x, es decir b = 0, y el resto de los coeficientes son números decimales, a = -0,2 y c = 0,8.

La gráfica asociada a esta función es la siguiente (en color limón):

Observamos que para valores grandes de x, tanto positivos como negativos, la función siempre vale números negativos muy grandes. Sólo cerca del eje Y la función toma valores positivos. Calculemos los puntos de corte con el eje X que nos definen dicha zona.

Teniendo marcada en la zona izquierda de la ventana la función, seleccionamos de la barra de herramientas el botón Evaluar la función seleccionada y elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Eje-x. Con respecto al eje Y hay un punto a cada lado, si pulsamos en la parte izquierda nos aparecerá el valor -2 y si nos vamos al lado derecho nos dará como valor 2. Es decir, los puntos de corte son (-2 , 0) y (2 , 0).

Como consecuencia de todo esto, las soluciones de la ecuaciónson 2 y -2 y podemos rescribir la ecuación como:¿Es correcta esta expresión? Sólo podemos ver si es válida haciendo el producto y simplificando. Hagámoslo.

y debería salir.

Se nos ha olvidado incluir el coeficiente a que acompaña a, que aquí es -0,2. Recordemos que la fórmula esdonde d y e son las soluciones de la ecuación. Luego en verdad sería así:

Ésto sí que es correcto. Por tanto la expresión buena es.

¿Tiene este función algún extremo? Por extremo entendemos un mínimo o máximo absoluto. Mirando la gráfica, la única opción posible es la existencia de un máximo absoluto, un punto en el que la función llega a valer más que en ningún otro punto.

Teniendo seleccionada la función y pulsado el botón Evaluar la función seleccionada, elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Extremo. Pulsamos en cualquier parte de la gráfica y obtenemos el punto (0 , 0,8). El número real 0 es el que toma el máximo valor en esta función (0,8).

¿Cuánto vale el área encerrada entre los puntos de corte con el eje X?

Seleccionamos de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Como los cortes con el eje X son en -2 y 2, éstos serán los valores con los que rellenaremos las casillas del recuadro inferior izquierdo. El resultado que aparece es 2,1333 unidades cuadradas.

¿Podremos calcular el área encerrada entre las dos funciones que tenemos representadas? Directamente no es posible pero podemos descomponerla en varias partes y luego sumar lo que calculemos. Pero antes de avanzar. sería conveniente sombrear la zona en cuestión para poder visualizar mejor lo que deseamos calcular.

Podemos ver que uno de los puntos en los que se cortan las dos gráficas es el (-2 , 0) y nos falta por averiguar cuál es el otro puesto que para sombrear es necesario saber dichos puntos.

Teniendo seleccionada la funcióny pulsado el botón Evaluar la función seleccionada, elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Intersección. Si pulsamos en cualquier parte a la izquierda del eje Y nos da el punto (-2 , 0). Si lo hacemos a la derecha de dicho eje obtenemos el punto (1,166667 , 0,5278). Con estos dos datos pasemos a sombrear la región.

Marcamos la funciónde la columna de la izquierda y pulsamos en el botón Agregar sombreado a una función.

• En la pestaña Sombreado elegimos la opción Entre funciones.

• En la pestaña Opciones de Graph 3 rellenamos el rango, en Desde ponemos -2 y en Hasta escribimos 1,166667. El relleno ha sido elegido en amarillo con rayas oblicuas.

• En la pestaña segunda función marcamos.

El resultado es el siguiente:

Ya sabemos la forma que tiene el área que deseamos calcular. Sigamos pensando y, aunque se puede calcular de otra forma, vamos a usar cosas que hemos hecho previamente para hallar la medida de la región.

En pasos anteriores, hemos calculado un área para la función(marcada en la siguiente imagen como Área 1) y otra para la función(marcada en la imagen como Área 2).

Si sumamos dichas áreas (recuadro a la derecha de la imagen anterior) tenemos más de lo que nos piden, hay una pequeña región a la derecha con forma de triángulo que nos sobra. Calcularemos la medida de esa zona y se la restaremos a la total que tenemos.

Cuando estudiamos las rectas vimos que podíamos descomponer áreas teniendo en cuenta las funciones que la delimitan. En este caso hay una primera parte, desde 1 a 1,166667, que la define la función (la hemos llamado Región 1) y una segunda, desde 1,166667 hasta 2, en la que la función es(llamada Región 2).

Para calcular la Región 1, seleccionamos de la columna izquierda la funcióny de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Como ya hemos dicho antes los puntos para esta región son 1 y 1,166667, los cuales ponemos en las casillas del recuadro inferior izquierdo. El resultado es 0,0432 unidades cuadradas.

Hacemos lo mismo para calcular la Región 2: seleccionamos de la columna izquierda la función y de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Los puntos para esta zona son 1,166667 y 2, los cuales ponemos en las casillas del recuadro inferior izquierdo. El resultado es 0,2392 unidades cuadradas.

Sumando obtenemos que el área de esta pequeña región con forma triangular es de:

Área Región = Área Región 1 + Área Región 2 = 0,0432 + 0,2392 = 0,2824 unidades cuadradas

Por tanto, y como punto final, el área que deseábamos calcular tendrá de extensión:

Área final = Área total - Área Región = 6,6333 - 0,2824 = 6,3509 unidades cuadradas

Ejercicio 3

Realiza los siguientes ejercicios. Las tramas y colores los dejamos a tu elección. Guarda todos los ficheros en tu carpeta de trabajo con los nombres indicados entre paréntesis.

1. Representa en un mismo archivo las siguientes nueve funciones basadas en la fórmula y a toma los valores: 0,1 , 0,3 , 0,7 , 0,82 , 1 , 2 , 5 , 12 y 20 (nombre del archivo c7.grf).

• ¿Qué le ocurre a las gráficas cuanto más grande se hace a?

• ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de coordenadas?

• ¿A qué lado (positivo o negativo) con respecto al eje Y quedan todas las gráficas?

2. Representa en un mismo archivo las siguientes diez funciones basadas en la fórmula y a toma los valores: -0,1 , 0,1 , -0,8 , 0,8 , -1 , 1 , -3 , 3 , -11 y 11 (nombre del archivo c8.grf).

• ¿Qué le ocurre a las gráficas si a toma un valor positivo o negativo? ¿A qué lado (positivo o negativo) con respecto al eje Y quedan las gráficas?

• ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de coordenadas?

3. Representa en un mismo archivo las siguientes nueve funciones basadas en la fórmula y c toma los valores: -21 , -13,5 , -6 , -1 , 0 , 1 , 6 , 13,5 y 21 (nombre del archivo c9.grf).

• ¿Qué le ocurre a las gráficas cuanto más grande se hace c?

• ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de coordenadas para cada una de ellas?

• Mirando los puntos de corte del apartado anterior, ¿cuáles son las funciones cuya ecuación asociada tiene solución? Indica los valores de las soluciones.

• ¿Se puede hacer algún comentario sobre a qué lado (positivo o negativo) con respecto al eje Y quedan las gráficas?

4. Representa en un mismo archivo las siguientes nueve funciones basadas en la fórmula y b toma los valores: -17 , -6,5 , -3 , -1 , 0 , 1 , 3 , 6,5 y 17 (nombre del archivo c10.grf).

• ¿Qué le ocurre a las gráficas cuanto más grande se hace b?

• ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de coordenadas para cada una de ellas?

• Mirando los puntos de corte del apartado anterior, ¿cuáles son las funciones cuya ecuación asociada tiene solución? Indica los valores de las soluciones.

• ¿Se puede hacer algún comentario sobre a qué lado (positivo o negativo) con respecto al eje Y quedan las gráficas?

5. Representa en un mismo archivo (nombre c11.grf) las siguientes nueve funciones basadas en la fórmula, donde b y c toman los siguientes pares de valores:

Parejas	b	c
1ª	-2	-2
2ª	-2	0
3ª	-2	2
4ª	0	-2
5ª	0	0
6ª	0	2
7ª	2	-2
8ª	2	0
9ª	2	2

Como puedes observar las tres primeras parejas (1ª, 2ª y 3ª) son iguales en b y se diferencian en c; tal y como ocurre con las tres siguientes (4ª, 5ª y 6ª) y las tres últimas (7ª, 8ª y 9ª).

También podemos verlo de otra manera: la 1ª, 4ª y 7ª son iguales en el término c y se diferencia en b; tal y como ocurre con las parejas 2ª, 5ª y 8ª y por otro lado con la 3ª, 6ª y 9ª.

Recordemos que para poder visualizar sólo las funciones que interesen, hay que señalar en la barra de la izquierda cualquiera de las que deben quedar ocultas y pulsar el botón derecho del ratón. En el menú contextual que aparecerá tenemos que desmarcar la opción Visible.

• Observa primero sólo las parejas 1ª, 2ª y 3ª. Luego haz lo mismo con las parejas 4ª, 5ª y 6ª. Por último realízalo con la 7ª, 8ª y 9ª ¿Qué conclusión puedes obtener? ¿Qué relación hay entre la ecuación y la posición de la gráfica?

• Observa primero sólo las parejas 1ª, 4ª y 7ª. Luego haz lo mismo con las parejas 2ª, 5ª y 8ª. Por último realízalo con la 3ª, 6ª y 9ª ¿Qué conclusión puedes obtener? ¿Qué relación hay entre la ecuación y la posición de la gráfica?

• ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de coordenadas para cada una de las funciones?

• Mirando los puntos de corte del apartado anterior, ¿cuáles son las funciones cuya ecuación asociada tiene solución? Indica los valores de las soluciones.

6. Representa la siguiente función(nombre del archivo c12.grf).

• ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de coordenadas?

• Mirando los puntos de corte del apartado anterior, ¿tiene solución la ecuación asociada a la función? Indica los valores de las soluciones.

• ¿Tiene esta función algún extremo? Indica sus coordenadas ¿Es un máximo o un mínimo?

• Calcula el área encerrada por la función y el eje X entre -1,5 y 3.

7. Representa la función(nombre del archivo c13.grf).

• ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de coordenadas?

• Mirando los puntos de corte del apartado anterior, ¿tiene solución la ecuación asociada a la función? Indica los valores de las soluciones.

• ¿Tiene esta función algún extremo? Indica sus coordenadas ¿Es un máximo o un mínimo?

• Sombrea y calcula el área encerrada por la función y el eje X entre -2 y 5.

8. Representa las siguientes funciones(nombre del archivo c14.grf).

• ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de coordenadas para cada función?

• Mirando los puntos de corte del apartado anterior, ¿cuáles son las funciones cuya ecuación asociada tiene solución? Indica los valores de las soluciones.

• ¿Cuáles son los extremos de cada función? Indica las coordenadas.

• Calcula el área encerrada por la funcióny el eje X entre -1 y 2.

• Calcula el área encerrada por la funcióny el eje X entre 1 y 2.

• Sombrea y calcula el área encerrada entre las intersecciones de las dos funciones.

Solución Ejercicio 3

1. c7.grf

Cuanto más grande se hace a, más estrecha se hace la gráfica. Si vemos la gráfica como la forma de una U (u mayúscula), podemos decir que conforme se agranda a más fina se hace la U.

Las nueve funciones cortan a los dos ejes en el mismo punto (0 , 0). Por tanto las soluciones de las ecuaciones asociadas son siempre la misma, en este caso 0, que es una raíz doble.

Todas las gráficas quedan en el lado positivo del eje Y. También podemos observar que todas son simétricas con respecto a dicho eje; es decir, que la U queda divida exactamente por la mitad mediante el eje Y.

2. c8.grf

Si a toma un valor positivo la gráfica tiene forma de una U normal (estrechándose si a se hace más grande) y si toma valores negativos la gráfica tiene forma de una U invertida.

Si a toma un valor positivo la gráfica queda en la parte positiva del eje Y; si toma un valor negativo la gráfica queda en la parte negativa del eje Y. En todos los casos las gráficas son simétricas con respecto al eje Y.

Las diez funciones cortan a los dos ejes en el mismo punto (0 , 0). Por tanto, las soluciones de las ecuaciones asociadas son siempre la misma, en este caso 0, que es una raíz doble.

3. c9.grf

Conforme aumenta c la gráfica va subiendo por el eje Y. La U se desplaza por el eje Y cortándolo a la altura que indica el valor de c. Por ejemplo, si c = -6 la gráfica corta al eje Y en -6.

Los puntos (sus coordenadas) de corte de cada una de ellas se indican en la siguiente tabla.

Funciones	Eje X		Eje Y
	(-2,64575131 , 0)	(2,64575131 , 0)	(0 , -21)
	(-2,12132034 , 0)	(2,12132034 , 0)	(0 , -13,5)
	(-1,41421356 , 0)	(1,41421356 , 0)	(0 , -6)
	(-0,57735027 , 0)	(0,57735027 , 0)	(0 , -1)
	(0 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
	Ninguno		(0 , 1)
	Ninguno		(0 , 6)
	Ninguno		(0 , 13,5)
	Ninguno		(0 , 21)

Podemos observar que los puntos de corte con el eje X son simétricos, uno a cada lado del eje Y a la misma distancia (uno negativo y el otro en positivo).

Conforme aumenta c los puntos de corte pasan de dos a uno [la raíz doble (0 , 0)] y luego a ninguno.

Las funciones cuya ecuación asociada tiene solución son sólo las que poseen puntos de corte con el eje X. En la siguiente tabla aparece la función, su ecuación asociada y las soluciones o raíces.

Funciones	Ecuación asociada	Soluciones
		-2,64575131	2,64575131
		-2,12132034	2,12132034
		-1,41421356	1,41421356
		-0,57735027	0,57735027
		0	0

De la última ecuación podríamos decir que sólo tiene una solución, el cero. En verdad ,la última ecuación tiene lo que se dice una raíz doble. Ésto se debe a la ecuación

tiene una solución cuando consideramos el “+” del numerador y otra cuando tomamos el “–” del numerador. En este caso por los dos caminos se llega al mismo resultado, cero.

Mirando la gráfica global (con todos los gráficos) observamos que sólo las que tienen un valor positivo de c se quedan siempre en el lado positivo del eje Y. El resto siempre tienen una pequeña parte en la zona negativa del eje Y.

También podemos observar que todas las gráficas son simétricas con respecto al eje Y, la U queda divida por la mitad por el eje Y.

4. c10.grf

La imagen anterior nos permite contemplar todas las gráficas, pero la mayoría de ellas quedan muy juntas por lo que cuesta distinguirlas bien. En la siguiente captura aparece ampliada la zona en cuestión dejando las funcionesyrecortadas por su parte superior.

Todas las gráficas tienen forma de una U invertida. Empezamos con la gráfica situada su mayor parte (la U invertida) a la izquierda del eje Y. Si vamos haciendo crecer b, la gráfica va menguando: una U más estrecha, con su extremo superior más pequeño y desplazada un poco más hacia la derecha cada vez. Cuando b = 0 la U invertida queda toda en la parte negativa del eje Y siendo simétrica con respecto a dicho eje. Si seguimos aumentando b, la gráfica crece: una U más ancha, con su extremo superior más grande y desplazada un poco más hacia la derecha cada vez.

Las gráficas son simétricas entre ellas con respecto al eje Y. Por ejemplo, la función y su correspondiente en positivoson reflejo una de otra con respecto al eje Y. Es como si este eje fuera un espejo. Sólo hay un punto que queda siempre igual y donde se cortan todas las gráficas, el punto (0 , 0). El reflejado de este punto sigue siendo él mismo.

Los puntos (sus coordenadas) de corte de cada una de ellas se indican en la siguiente tabla.

Funciones	Eje X		Eje Y
	(-8,5 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
	(-3,25 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
	(-1,5 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
	(-0,5 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
	(0 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
	(0,5 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
	(1,5 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
	(3,25 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
	(8,5 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)

Podemos observar que los puntos de corte con el eje X son simétricos entre las funciones. El punto correspondiente a la función, tiene como reflejo el punto de corte de la función. Hay uno a cada lado del eje Y a la misma distancia (uno negativo y el otro en positivo) tal y como son las funciones entre sí.

Tal y como ya vimos con la gráfica, todas pasan por el punto (0 , 0) que es a la vez el corte con el eje Y y con el eje X.

En este caso todas las funciones tienen dos puntos distintos de corte con el eje X, salvo la funciónque posee el mismo punto dos veces. Por todo esto, podemos decir que todas las ecuaciones asociadas a estas funciones tienen dos soluciones y la asociada a tiene lo que se dice una raíz doble.

En la siguiente tabla aparece la función, su ecuación asociada y las soluciones o raíces.

Funciones	Ecuación asociada	Soluciones
		-8,5	0
		-3,25	0
		-1,5	0
		-0,5	0
		0	0
		0,5	0
		1,5	0
		3,25	0
		8,5	0

Todas las gráficas tienen partes en las zonas positiva y negativa del eje Y, luego poco podemos decir sobre su situación. Sólo podemos comentar lo anteriormente dicho sobre la relación entre ellas, las gráficas son simétricas entre ellas con respecto al eje Y.

5. c11.grf

Si representamos las funciones y mostramos todas a la vez, sale un conjunto de trazos de los que no podemos decir mucho, salvo que todas las funciones tienen mínimos absolutos (forma de U).

Empecemos con el primer apartado del ejercicio.

Ocultamos todas las gráficas salvo las correspondientes a las parejas 1ª, 2ª y 3ª. El resultado es el siguiente:

Las tres parejas se diferencian en el último término (c) siendo iguales a y b. Según varía c la U que describe la gráfica sube o baja su posición con respecto al eje Y. Vemos que la gráfica que corresponde a la 3ª pareja () queda por encima del eje X y que los otros dos trazados lo cortan en dos puntos diferentes.

Observemos que ninguna de las gráficas es simétrica con respecto al eje Y, todas están desplazadas a la derecha de dicho eje. El eje Y no divide por la mitad a la U de la gráfica.

Ocultamos estas tres gráficas y hacemos visibles correspondientes a las parejas 4ª, 5ª y 6ª. El resultado es esta imagen:

Al igual que antes las tres parejas se diferencian en el último término (c) siendo iguales a y b. Según varía c la U que describe la gráfica sube o baja su posición con respecto al eje Y. Vemos que la gráfica que corresponde a la 6ª pareja () queda por encima del eje X y que las otras dos lo cortan en dos puntos diferentes.

Observemos en este caso que todas las gráficas son simétricas con respecto al eje Y. El eje Y divide por la mitad a la U de la gráfica.

Por último, ocultamos estas tres gráficas y hacemos visibles correspondientes a las parejas 7ª, 8ª y 9ª. El resultado es la siguiente imagen:

Tal y como antes, las tres parejas se diferencian en el último término (c) siendo iguales a y b. Según varía c la U que describe la gráfica sube o baja su posición con respecto al eje Y. Vemos que la gráfica que corresponde a la 9ª pareja () queda por encima del eje X y que los otros dos trazados lo cortan en dos puntos diferentes.

Observemos que ninguna de las gráficas es simétrica con respecto al eje Y, todas están desplazadas a la izquierda de dicho eje. El eje Y no divide por la mitad a la U de la gráfica.

Como conclusión de este apartado podemos decir que el término c hace que la gráfica suba o baje con respecto al eje Y.

Pasemos al segundo apartado del ejercicio.

Ocultamos todas las gráficas salvo las correspondientes a las parejas 1ª, 4ª y 7ª. El resultado es el siguiente:

Las tres parejas se diferencian en el segundo término (b) siendo iguales a y c.

Si b = 0 la gráfica es simétrica con respecto al eje Y, la U que se traza queda divida por la mitad por dicho eje.

En los otros dos casos, la gráfica se desplaza hacia un lado u otro con respecto a dicho eje: si b es positivo hacia la izquierda y si b es negativo hacia la derecha. También podemos decir que las gráficas se desplazan hacia abajo en estas parejas.

Observemos que todas cortan al eje X en dos puntos diferentes, quedando cada uno a un lado del eje Y.

Ocultamos estas tres gráficas y hacemos visibles correspondientes a las parejas 2ª, 5ª y 8ª. El resultado es esta imagen:

Las tres parejas se diferencian en el segundo término (b) siendo iguales a y c.

Si b = 0 la gráfica es simétrica con respecto al eje Y, la U que se traza queda divida por la mitad por dicho eje.

En los otros dos casos, la gráfica se desplaza hacia un lado u otro con respecto a dicho eje: si b es positivo hacia la izquierda y si b es negativo hacia la derecha. También podemos decir que las gráficas se desplazan hacia abajo en estas parejas.

Observemos que la gráfica desólo corta al eje X en un punto. Las otras dos lo cortan en dos puntos diferentes: uno queda a un lado del eje Y y el otro es común a todas, el punto (0 , 0).

Por último, ocultamos estas tres gráficas y hacemos visibles correspondientes a las parejas 3ª, 6ª y 9ª. El resultado es la siguiente imagen:

Las tres parejas se diferencian en el segundo término (b) siendo iguales a y c.

Si b = 0 la gráfica es simétrica con respecto al eje Y, la U que se traza queda divida por la mitad por dicho eje.

En los otros dos casos, la gráfica se desplaza hacia un lado u otro con respecto a dicho eje: si b es positivo hacia la izquierda y si b es negativo hacia la derecha. También podemos decir que las gráficas se desplazan hacia abajo en estas parejas.

Observemos que ninguna de las gráficas corta al eje X.

Como conclusión de este apartado podemos decir que el término b hace que la gráfica se desplace hacia la izquierda o la derecha con respecto al eje Y. En todos los casos la gráfica se desplaza hacia abajo.

Realicemos el tercer apartado del ejercicio.

Recordemos un par de cosas:

• Para calcular los puntos de corte con el eje Y hay que realizar estos pasos: marcamos una función de la zona izquierda del programa, seleccionamos el botón Evaluar la función seleccionada y elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Función. Escribimos en la primera casilla 0 y obtenemos como resultado en la siguiente casilla la segunda coordenada del punto de corte.

• Para calcular los puntos de corte con el eje X hay que realizar estos pasos: marcamos una función de la zona izquierda del programa, seleccionamos el botón Evaluar la función seleccionada y elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Eje-x. Pulsamos en cualquier parte de la zona situada a la izquierda del eje Y, para obtener el punto de corte que esté más cercano a donde hemos pinchado. Si pulsamos en cualquier lugar de la región situada a la derecha del eje Y obtendremos las coordenadas del otro punto.

Siguiendo lo expuesto tenemos en resumen que las coordenadas aproximadas de los puntos de corte son (hemos redondeado en la cuarta cifra decimal por razones de comodidad a la hora de trabajar):

Pareja	Funciones	Eje X		Eje Y
1ª		(-0,5486 , 0)	(1,2153 , 0)	(0 , -2)
2ª		(0 , 0)	(0,6667 , 0)	(0 , 0)
3ª		Ninguno		(0 , 2)
4ª		(-0,8165 , 0)	(0,8165 , 0)	(0 , -2)
5ª		(0 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
6ª		Ninguno		(0 , 2)
7ª		(-1,2153 , 0)	(0,5486 , 0)	(0 , -2)
8ª		(-0,6667 , 0)	(0 , 0)	(0 , 0)
9ª		Ninguno		(0 , 2)

Observemos la repetición que hay en la serie de puntos de corte con el eje Y fruto de variar c entre -2, 0 y 2.

Las parejas 4ª, 5ª y 6ª tienen raíces simétricas (son los mismos valores pero cambiados de signo) con respecto al 0 (origen del eje X). Recordemos que sus gráficas eran simétricas con respecto al eje Y.

Las parejas 1ª y 7ª tienen las mismas raíces pero cambiadas de signo, al igual que las parejas 2ª y 8ª.

Esta relación entre las raíces es consecuencia de la variación de b entre -2, 0 y 2.

Para finalizar este ejercicio hagamos el cuarto apartado.

Recordemos que para que la ecuación asociada a una función de segundo grado tenga alguna solución, la gráfica debe cortar al eje X.

Por tanto las soluciones de las ecuaciones asociadas a estas funciones son (hemos redondeado en la cuarta cifra decimal por razones de comodidad a la hora de trabajar):

Pareja	Funciones	Ecuación	Soluciones
1ª			-0,5486	1,2153
2ª			0	0,6667
3ª			No tiene	No tiene
4ª			-0,8165	0,8165
5ª			0	0
6ª			No tiene	No tiene
7ª			-1,2153	0,5486
8ª			-0,6667	0
9ª			No tiene	No tiene

Los comentarios que se pueden hacer sobre las relaciones entre las diferentes soluciones son los mismos que se realizaron en el apartado anterior.

6. c12.grf

Representando la función obtenemos la siguiente gráfica:

Para calcular el punto de corte con el eje Y, seleccionamos el botón Evaluar la función seleccionada y elijamos del recuadro inferior izquierdo la opción Función. Escribimos en la primera casilla 0 y obtenemos como resultado en el siguiente recuadro -4,5. Luego las coordenadas del punto de corte con el eje Y son (0 , -4,5).

Para calcular los puntos de corte con el eje X, seleccionamos el botón Evaluar la función seleccionada y elijamos del recuadro inferior izquierdo la opción Eje-x. Pulsamos en cualquier parte de la zona situada a la izquierda del eje Y, obteniendo el punto (-1,5 , 0). Si pulsamos en cualquier lugar de la región situada a la derecha del eje Y, conseguimos el punto (3 , 0). Éstas son las coordenadas de los dos puntos pedidos.

Dado que la funcióncorta al eje X en dos puntos, la ecuación asociadatiene dos soluciones. Éstas son -1,5 y 3. Por tanto, la ecuación puede escribirse también como.

Para calcular el extremo seleccionamos la función, pulsamos el botón Evaluar la función seleccionada, elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Extremo. Pulsamos en cualquier parte de la gráfica y obtenemos el punto (0,75 , -5,0625). En este caso y viendo la gráfica podemos decir que este extremo es un mínimo.

Para calcular el área que nos piden hacemos lo siguiente: seleccionamos de la columna izquierda la función y de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Los puntos para esta zona, que escribiremos en las casillas de la zona inferior izquierda, son -1,5 y 3. El resultado que nos dice el programa es -15,1875, como sabemos que cualquier área es siempre positiva, la respuesta correcta es 15,1875 unidades cuadradas.

7. c13.grf

Representamos la función y obtenemos la siguiente gráfica:

Para calcular el punto de corte con el eje Y, seleccionamos el botón Evaluar la función seleccionada y elijamos del recuadro inferior izquierdo la opción Función. Escribimos en la primera casilla 0 y obtenemos como resultado en el siguiente recuadro 10. Luego las coordenadas del punto de corte con el eje Y son (0 , 10).

Para calcular los puntos de corte con el eje X, seleccionamos el botón Evaluar la función seleccionada y elijamos del recuadro inferior izquierdo la opción Eje-x. Pulsamos en cualquier parte de la zona situada a la izquierda del eje Y, obteniendo el punto (-2 , 0). Si pulsamos en cualquier lugar de la región situada a la derecha del eje Y, conseguimos el punto (5 , 0). Éstas son las coordenadas de los dos puntos pedidos.

Dado que la funcióncorta al eje X en dos puntos, la ecuación asociadatiene dos soluciones. Éstas son -2 y 5. Por tanto, la ecuación puede escribirse también como.

Para calcular el extremo seleccionamos la función, pulsamos el botón Evaluar la función seleccionada, elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Extremo. Pulsamos en cualquier parte de la gráfica y obtenemos el punto (1,5 , 12,25). En este caso y viendo la gráfica podemos decir que este extremo es un máximo.

Marcamos la función de la columna de la izquierda y pulsamos en el botón Agregar sombreado a una función. De la pequeña ventana que aparecerá, en la segunda pestaña Opciones de Graph 3 rellenamos el rango: en Desde ponemos -2 y en Hasta escribimos un 5. Su relleno ha sido elegido en verde con rayas oblicuas. El resultado aparece reflejado en la imagen del principio de la página.

Para calcular el área que nos piden hacemos lo siguiente: seleccionamos de la columna izquierda la funcióny de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Los puntos para esta zona, que escribiremos en las casillas de la zona inferior izquierda, son -2 y 5. El resultado que nos dice el programa es 57,1667 unidades cuadradas.

8. c14.grf

Representamos las dos funciones obteniendo las siguiente gráficas:

Estudiemos primero los puntos de corte de la función.

Para calcular el punto de corte con el eje Y, seleccionamos el botón Evaluar la función seleccionada y elijamos del recuadro inferior izquierdo la opción Función. Escribimos en la primera casilla 0 y obtenemos como resultado en el siguiente recuadro un 2. Luego las coordenadas del punto de corte con el eje Y son (0 , 2).

Para calcular los puntos de corte con el eje X, seleccionamos el botón Evaluar la función seleccionada y elijamos del recuadro inferior izquierdo la opción Eje-x. Pulsamos en cualquier parte de la zona situada a la izquierda del eje Y, obteniendo el punto (-1 , 0). Si pulsamos en cualquier lugar de la región situada a la derecha del eje Y, conseguimos el punto (2 , 0). Éstas son las coordenadas de los dos puntos pedidos.

Dado que la funcióncorta al eje X en dos puntos, la ecuación asociadatiene dos soluciones. Éstas son -1 y 2. Por tanto, la ecuación puede escribirse también como.

¿Es correcta esta forma de escribir la ecuación? Hagamos los productos indicados y simplifiquemos.

Lo que obtenemos es la ecuaciónpero cambiada de signo. Se nos ha olvidado incluir el coeficiente de x² que en este caso a = -1.

Éste sí es correcto, concuerda con la ecuación original.

Nos queda por averiguar los puntos de corte para la función.

Para calcular el punto de corte con el eje Y, seleccionamos el botón Evaluar la función seleccionada y elijamos del recuadro inferior izquierdo la opción Función. Escribimos en la primera casilla 0 y obtenemos como resultado en el siguiente recuadro el número 2. Luego las coordenadas del punto de corte con el eje Y son (0 , 2). En este caso coincide con el punto de corte de la otra función estudiada.

Para calcular los puntos de corte con el eje X, seleccionamos el botón Evaluar la función seleccionada y elijamos del recuadro inferior izquierdo la opción Eje-x. Pulsamos en cualquier parte de la zona situada a la izquierda del eje Y, obteniendo el punto (1 , 0). Si pulsamos en cualquier lugar de la región situada a la derecha del eje Y, conseguimos el punto (2 , 0). Éstas son las coordenadas de los dos puntos pedidos.

Dado que la funcióncorta al eje X en dos puntos, la ecuación asociadatiene dos soluciones. Éstas son 1 y 2. Por tanto, la ecuación puede escribirse también como. El 1 que aparece al principio es el coeficiente a de la ecuación (el que acompaña a x²).

Por si no estamos seguros de esta respuesta, hagamos los productos indicados y simplifiquemos:

El resultado final del desarrollo concuerda con la ecuación original, luego está bien escrita la ecuación.

Sigamos el estudio de las funciones con el cálculo de sus extremos.

Empezaremos con la funcióny para ello haremos como siempre: seleccionamos la función de la zona izquierda, pulsamos el botón Evaluar la función seleccionada y elegimos del recuadro inferior izquierdo la opción Extremo. Pulsamos en cualquier parte de la gráfica y obtenemos el punto (0,5 , 2,25). En este caso y viendo la gráfica podemos decir que este extremo es un máximo absoluto.

Hacemos lo mismo pero con la función. Cuando pulsemos en cualquier parte de la gráfica y obtendremos el punto (1,5 , -0,25). En este caso y viendo la gráfica podemos indicar que este extremo es un mínimo absoluto.

Contestados los dos primeros apartados del ejercicio hagamos el tercer punto: calcular el área encerrada por la funcióny el eje X entre -1 y 2.

Para calcular el área que nos piden hacemos lo siguiente: seleccionamos de la columna izquierda la funcióny de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Los puntos para esta zona, que escribiremos en las casillas de la zona inferior izquierda, son -1 y 2. El resultado que nos dice el programa es 4,5 unidades cuadradas.

Realicemos el cuarto apartado, calcular el área encerrada por la funcióny el eje X entre 1 y 2.

Para calcular el área que nos piden hacemos lo siguiente: seleccionamos de la columna izquierda la funcióny de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Los puntos para esta zona, que escribiremos en las casillas de la zona inferior izquierda, son 1 y 2. El programa nos dice que vale -0,1667 unidades cuadradas. Sabemos que las áreas siempre son positivas por lo que el resultado correcto es 0,1667 unidades cuadradas.

Nos queda por resolver el último apartado del problema: sombrear y calcular el área encerrada entre las intersecciones de las dos funciones.

Recordemos que la herramienta Evaluar la función seleccionada nos permite calcular las coordenadas de la intersección de las funciones mediante la opción Intersección.

Teniendo señalada cualquiera de las dos funciones (de la columna de la izquierda), elegimos Intersección del menú desplegable del recuadro inferior izquierdo.

Pulsamos en cualquier parte a la izquierda del eje Y, en el recuadro aparecerá en la primera casilla un 0 y en la segunda un 2; por tanto el punto (0 , 2) es uno de los puntos de intersección.

Ahora pinchamos en cualquier parte a la derecha del eje Y, en el recuadro aparecerá en la primera casilla un 2 y en la segunda un 0; por tanto el punto (2 , 0) es el otro punto de intersección.

Hemos calculado los dos puntos de intersección que nos van a servir en primer lugar para sombrear la zona cuya área nos piden averiguar.

Marcamos la funciónde la columna de la izquierda y pulsamos en el botón Agregar sombreado a una función.

• En la pestaña Sombreado elegimos la opción Entre funciones.

• En la pestaña Opciones de Graph 3 rellenamos el rango, en Desde ponemos 0 y en Hasta escribimos 2. El relleno ha sido elegido en fucsia con rayas oblicuas.

• En la pestaña segunda función marcamos.

El resultado es el siguiente:

No es posible calcular directamente el área que nos piden, por lo que habrá que pensar un poco y dividir la región en partes que sí podamos trabajarlas con el programa. Vamos a seguir la misma técnica que vimos cuando trabajamos en la última parte dedicada a las ecuaciones de segundo grado.

De toda la zona que nos piden averiguar, sabemos lo que vale el área una pequeña región que se encuentra por debajo del eje X de coordenadas. La hemos calculado en el apartado anterior y vale 0,1667 unidades cuadradas. En la siguiente imagen hemos llamado Región 2 a esta parte y al resto la hemos nombrado como Región 1. Nos falta por encontrar lo que vale esta región.

La Región 1 es posible verla como la diferencia entre otras dos zonas y que podemos calcular fácilmente con el programa. Observando las dos siguientes imágenes podemos deducir que el valor de la Región 1 es quitarle a la zona llamada R1 la parte correspondiente a R2. Estas dos (R1 y R2) son calculables utilizando el programa y las funciones que hemos trazado.

Pasemos a calcular las áreas de R1 y R2.

La región R1 está definida por la funcióny el eje de coordenadas X entre los puntos 0 y 2.

Para calcular el área que nos piden hacemos lo siguiente: seleccionamos de la columna izquierda la funcióny de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Los puntos para esta zona, que escribiremos en las casillas de la zona inferior izquierda, son 0 y 2. El programa nos dice que vale 3,3333 unidades cuadradas.

Averigüemos el valor de la región R2.

Esta región R2 está definida por la funcióny el eje de coordenadas X entre los puntos 0 y 1.

Para calcular el área que nos piden hacemos lo siguiente: seleccionamos de la columna izquierda la funcióny de la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. Los puntos para esta zona, que escribiremos en las casillas de la zona inferior izquierda, son 0 y 1. El programa nos dice que vale 0,8333 unidades cuadradas.

Por tanto el valor de la Región 1 es:

Región 1 = R1 – R2 = 3,3333 – 0,8333 = 2,5 unidades cuadradas

Como conclusión el valor del Área total que nos pedían es:

Área total = Región 1 + Región 2 = 2,5 + 0,1667 = 2,6667 unidades cuadradas