Tutorial Graph II (Creación de gráficas)

5. Primeros pasos

La primera vez que abramos el programa, nos aparecerá una pequeña ventana con la sugerencia del día, una indicación para trabajar con el programa. Si no queremos que aparezca esta ventana cada vez que iniciemos el programa, habrá que desmarcar la casilla que aparece en la parte inferior de dicho recuadro.

Cuando arranque el programa nos aparecerá una ventana similar la siguiente:

Si deseamos configurar el programa (por ejemplo cambiar el idioma de trabajo) tendremos que irnos a Editar – Opciones (en inglés Edit – Options).

La mayoría de los valores que aparecen por defecto son válidos para el trabajo diario por lo que no será necesario cambiar nada de la ventana.

Ojo, la opción Mostrar Extremo no está relacionada con los posibles extremos de una función. Es una mala traducción y en verdad lo que nos permite es elegir si queremos que, al situar el cursor sobre algún objeto nos muestre una pequeña indicación de para qué sirve.

5.1. Barra de menús

La barra de menús del programa nos sirve para acceder a todas las funciones que posee. En nuestro caso consta de seis opciones: Archivos, Editar, Función, Zoom, Calc y Ayuda.

El submenú Archivos nos permite trabajar con los ficheros que generamos con el programa: crear uno nuevo; abrirlos; guardarlos o salvarlos con otro nombre; exportar la gráfica (salvar como imagen de mapa de bits o metafile); importar una serie de datos o un gráfico creado previamente; imprimir; abrir algún documento reciente y salir del programa.

El submenú Editar nos permite: deshacer o rehacer alguno de los pasos que hemos hecho en nuestro trabajo; cortar, copiar y pegar lo seleccionado; Copiar la imagen (la gráfica) en el portapapeles (para luego por ejemplo pegarla en nuestro procesador de texto); modificar los ejes de la gráfica (Ejes) y las opciones generales del programa (Opciones).

El submenú Función nos permite: crear una función para su representación gráfica, insertar la tangente en un punto de la gráfica, sombrear alguna parte del gráfico, dibujar una serie de puntos (datos), insertar una función que describa una serie de puntos, insertar una relación entre las variables o un rótulo, editar o borrar una función creada, o generar funciones propias (diferentes de las que ya contiene el programa).

El submenú Zoom nos permite: ampliar, alejar, ampliar una parte señalada (ventana), hacer que los ejes se vean con la misma medida (cuadrar), volver a la representación inicial (estándar), mover libremente los ejes, ajustar la gráfica a nuestra ventana y mostrar todos los puntos.

El submenú Calc nos permite: medir la longitud de la gráfica entre dos puntos, calcular un área, conocer el valor de la gráfica en un punto (evaluar) y en una serie de ellos (tabla).

El submenú Ayuda nos permite saber más de este programa: su manual, la lista de funciones que reconoce por defecto, preguntas frecuentes, indicaciones varias, acceso a su página web y la versión de programa.

5.2. Barra de herramientas

La barra de herramientas nos permite acceder a las funciones más utilizadas de los menús del programa. Por orden, de izquierda a derecha y según las divisiones, son:

• Crear un nuevo archivo, abrirlo o guardarlo.

• Configurar los ejes de coordenadas, crear una gráfica a partir de una ecuación o insertar una serie de puntos.

• Insertar la tangente en un punto a una función, crear una función que describa a una serie de datos o sombrear el área encerrada en cierta parte de la gráfica.

• Insertar una relación entre las variables, crear una serie de funciones propias o insertar un rótulo en la gráfica.

• Medir la longitud de la función entre dos puntos o el área entre dos puntos, evaluar la función en un punto o para una serie de ellos.

• Ampliar la gráfica, alejarla, ampliar sólo una parte o mover toda la gráfica.

Nota aclaratoria

Nuestro lenguaje científico (español) utiliza la coma (,) como separador para la parte decimal de un número. Por ejemplo: 3,1415 ; 2,12121 ; ...

El programa trabaja con la notación científica anglosajona por lo que en vez de usar la coma (,) utiliza el punto (.) para separar la parte decimal. Por ejemplo: 3.1415 ; 2.12121 ; ...

Este manual está escrito siguiendo la notación española, por lo que a la hora de trabajar con el programa habrá que cambiar la coma decimal por el punto.

6. Estudio de casos sencillos: constantes y rectas

6.1. Constantes

Empecemos a trabajar con nuestro programa haciendo un ejemplo sencillo mediante una función que valga siempre un mismo valor: a cada punto de la recta real se le asigna siempre como imagen el mismo número, una constante.

Nuestra primera función va a ser aquella que a todo punto de la recta real le asigna el número 3, es decir.

Pulsamos en el botón Insertar una nueva función (el quinto por la izquierda de la barra de herramientas) y nos aparecerá una nueva ventana en la que podremos indicar los parámetros de la función deseada: ecuación, desde que punto a que punto deseamos dibujar la gráfica (el rango), etc. En este caso haremos lo siguiente:

• En la casilla destinada a la Ecuación de la Función tendremos que escribir un 3, la función deseada.

• Como queremos trazar la función para todos los puntos de la recta real, la casilla del Rango del Argumento lo dejaremos vacío.

• La gráfica abarca todos los números reales, no tiene ni principio ni fin, por lo que no resulta lógico elegir algún tipo de símbolo para los extremos de la gráfica. por tanto, dejaremos sin rellenar las casillas correspondientes a Finalizadores.

• Por Texto de la Leyenda, el título que le vamos a dar a esta gráfica, vamos a escribir por ejemplo Constante 3.

• No es necesario cambiar el trazo de la gráfica que aparece por defecto, se hará con línea continua en rojo de grosor 1.

Cuando tengamos rellenos los campos indicados bastará con pulsar en el botón OK para que el programa genere la gráfica. El resultado será similar al que se muestra en la siguiente captura de pantalla.

Como podemos observar en la columna izquierda de la ventana aparece la función que hemos trazado y en la parte derecha de la ventana aparece en un rectángulo lo que escribimos en la casilla Texto de la Leyenda.

Los ejes que aparecen por defecto, tanto para la variable independiente X como para la variable dependiente Y, van de -10 a 10 haciendo una marca cada 2 unidades. Vamos a modificarlos para que, por ejemplo, sean así:

• Eje X: irá de -20 a 20 y habrá una marca cada unidad.

• Eje Y: irá de -1 a 5 y habrá una marca cada unidad.

Pulsamos en el botón de Editar las propiedades de los Ejes (cuarto por la izquierda de la barra de herramientas). También podríamos llegar al mismo sitio utilizando en la barra de menús Editar – Ejes... Aparecerá la siguiente ventana:

En la pestaña correspondiente al eje X cambiaremos en la casilla Mínimo, -10 por -20; y en la casilla Máximo, 10 por 20. Para que nos muestre una marca cada unidad, quitamos la señal de Marcas Auto y en la casilla Marcas Celda cambiaremos 2 por 1.

En la pestaña correspondiente al eje Y cambiaremos en la casilla Mínimo, -10 por -1; y en la casilla Máximo, 10 por 5. Para que nos muestre una marca cada unidad, quitamos la señal de Marcas Auto y en la casilla Marcas Celda cambiaremos 2 por 1.

Tras pulsar en el botón OK, la gráfica quedará de la siguiente forma:

Si hubiéramos elegido para Y como valor mínimo 0 en vez de -1, no aparecerían reflejados los números del eje X.

Si nos equivocamos en algo, siempre podemos rectificar señalando en la columna de la izquierday pulsar el botón derecho del ratón. Aparecerá el menú contextual y elegiremos la última opción Editar.

El programa nos permite sombrear partes de la función. Por ejemplo, vamos a sombrear desde el punto -3 al punto 3, el área comprendida entre la función y el eje X.

Pulsamos el botón Agregar Sombreado a una Función (noveno desde la izquierda en la barra de herramientas). También podríamos hacer en la barra de menús Función – Insertar sombreado. Aparecerá la siguiente ventana:

Como lo que deseamos es sombrear la zona entre la función y el eje X, no tenemos que modificar lo que aparece por defecto en la pestaña Sombreado.

Para indicar que sólo queremos la zona comprendida entre -3 y 3, en la siguiente pestaña Opciones de Graph 3 rellenaremos las casillas correspondientes al Rango tal y como aparece en la imagen de la derecha.

El área se rellenará con líneas oblicuas de color verde, marcándose con una línea tanto el comienzo como el final de la misma.

Tras pulsar en el botón OK, la gráfica quedará igual a la que se muestra en la siguiente imagen. La sombra insertada, Sombra1, aparece reflejada en la columna de la izquierda y en la leyenda de la gráfica.

Si nos equivocamos en algo, podemos rectificar señalando en la columna de la izquierda Sombra1 y pulsar el botón derecho del ratón. Aparecerá el menú contextual y elegiremos la última opción Editar.

Ya que tenemos sombreada una parte de esta gráfica calculemos el área encerrada en ella. Podemos observar que es un rectángulo cuya base mide 6 unidades (de -3 a 3) y su altura mide 3 unidades (de 0 a 3). El área de esta figura geométrica (un rectángulo) se calcula multiplicado la base por la altura, por lo que en este caso su valor es 6 x 3 = 18 unidades cuadradas.

Utilizando el programa también se puede calcular dicha área. Podemos elegir en la barra de herramientas el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva (séptimo por la derecha), o utilizar el menú Calc – Área. Teniendo seleccionada la función (en la columna de la izquierda), en la parte inferior izquierda de la ventana principal aparecerá un nuevo recuadro.

Nuestra área buscada va desde el punto -3 al 3, por lo que:

• en el recuadro Desde escribiremos -3.

• en la recuadro Hasta pondremos

  .

En la última casilla, Área, se reflejará el tamaño total: 18 unidades cuadradas; resultado que coincide con el que calculamos usando la fórmula tradicional.

Observemos que la zona sombreada cambia de color (un tono violeta) para indicar el área que se ha calculado.

Ejercicio 1

Para cada una de las siguientes funciones constantes crea su gráfica. Guarda todos los ficheros en tu carpeta de trabajo con los nombres que se indican entre paréntesis.

1. (nombre del archivo c1.grf)

• La gráfica será una línea en color verde con grosor 1.

• La gráfica tiene por leyenda Función f(x)=7.

• El eje X irá de -100 a 100 con marcas cada 15 unidades.

• El eje Y irá de -1 a 10 con marcas cada 2 unidades.

2. (nombre del archivo c2.grf)

• La gráfica será una línea en color limón con grosor 2.

• La gráfica tiene por leyenda y=2.

• El eje X irá de -10 a 10 con marcas cada 2 unidades.

• El eje Y irá de -1 a 5 con marcas cada unidad.

• Sombrear y calcular el área que hay entre -8 y 9. El sombreado será de color rojo.

3. (nombre del archivo c3.grf)

• La gráfica será una línea en color amarillo con grosor 2.

• La gráfica tiene por leyenda y=12.

• El eje X irá de -15 a 23 con marcas cada 2 unidades.

• El eje Y irá de -2 a 14 con marcas cada 2 unidades.

• Sombrear el espacio que hay entre -15 y 10. El sombreado será de color limón con trama en forma de rejilla.

• Calcular el área que hay entre los puntos 11 y 21.

6.2. Rectas

Pasemos a representar gráficamente un par de rectas y conocer un poco más de las posibilidades que nos brinda este programa.

Nuestra primera recta va a ser la que tiene por ecuación. Su pendiente vale 2 y tiene por término independiente 1.

Creemos una nuevo archivo y al igual que hicimos antes para crear una función constante, pulsemos en el botón Insertar una nueva función (el quinto por la izquierda de la barra de herramientas) para indicar la ecuación de nuestra recta. Sólo rellenaremos la casilla de Ecuación de la Función con el texto, dejando el resto tal y como aparezca (en blanco el resto de las casillas y la línea en rojo de grosor 1.

Al pulsar en el botón OK se generará el gráfico asociado a nuestra recta tal y como muestra la siguiente imagen. Observemos que directamente en el recuadro de la leyenda, el programa escribe la ecuación de la función:.

Podemos ver que la gráfica de la recta corta a los ejes de coordenadas en dos puntos. Uno, el corte con el eje Y, es sencillo de calcular: cuandola recta toma el valor 1. El segundo punto de corte, con e eje X, requeriría un poco más de cálculo. El programa es capaz de indicarnos fácilmente cuál es el punto de corte en un par de pasos.

Teniendo seleccionada la ecuación en la columna de la izquierda, pulsemos en el botón Evaluar la función seleccionada (sexto por la derecha en la barra de herramientas). También podríamos acceder a esta función mediante Calc – Evaluar.

En la parte inferior izquierda de la ventana aparecerá un nuevo recuadro con cuatro casillas y un menú desplegable al final.

Si quisiéramos saber lo que vale la función para un punto bastaría con escribir dicho valor en la primera casilla y directamente en las siguientes nos aparecería el valor de: la función, la primera derivada y la segunda derivada. Por ejemplo, para el puntoel resultado aparece en la imagen de la derecha. es el siguiente.

Retomemos el origen de la cuestión, averiguar los puntos de corte.

Para el corte con el eje Y bastará con escribir 0 en la primera casilla. Obtendremos en el segundo recuadro que, resultado que ya habíamos calculado antes. El punto de corte con el eje Y es (0 , 1).

Para el corte con el eje X desplegaremos el menú del final de este recuadro y elegiremos la tercera opción, Eje-x. Al pulsar con el cursor en cualquier parte de la gráfica aparecerá reflejado el valor que buscábamos (-0,5) y en la gráfica se traza una línea vertical de trazos discontinuos que pasa por el punto en cuestión. El punto de corte con el eje X es (-0,5 , 0).

Al igual que hicimos con las funciones constantes sombrearemos ciertas partes de esta gráfica y calcularemos algún área.

Podemos observar que la gráfica tiene:

• una parte por debajo del eje X, que se corresponde con todos los puntos de este eje que son menores que -0,5. Para todos estos valores, la recta siempre toma valores negativos. Es decir, que sólo tendremos que rellenar la casilla de Hasta de la pestaña Opciones de Graph 3 la ventana Insertar sombreado con el número -0,5.

• también hay un sector que está por encima del eje X, cuyos puntos son todos mayores que -0,5. Para todos estos valores, la recta siempre toma valores positivos. Es decir, que sólo tendremos que rellenar la casilla de Desde de la pestaña Opciones de Graph 3 de la ventana Insertar sombreado con el número -0,5.

Vamos a sombrear de forma diferente cada una de estas zonas. Por ejemplo, la primera será con líneas oblicuas en color limón y la segunda con rejilla en color amarillo.

Observando la gráfica (la siguiente imagen es una ampliación) podemos ver que se forma un pequeño triángulo entre la recta y los ejes de coordenadas ¿Cuál será su área?

Gracias en parte a lo que hemos calculado previamente, sabemos que la base de este triángulo va desde el punto (-0,5 , 0) al (0 , 0). Luego, utilizando la herramienta de Área con los valores -0,5 y 0 obtenemos que la extensión de este triángulo es de 0,25 unidades cuadradas.

Otra opción, que no hemos comentado antes, para calcular el área sería marcar con el ratón en la gráfica desde el -0,5 al 0. Es muy intuitiva pero es más difícil puesto que requiere tener buena destreza en el manejo del ratón.

¿Utilizando el programa se podría calcular, por ejemplo, el área que ocupa la Sombra1?

La verdad es que no. Mirando la gráfica observamos que no tiene ningún límite inferior, por lo que no es posible rellenar la casilla Desde. Sabemos que su área es infinita puesto que se extiende sin fin por la parte negativa del eje de las X.

Vamos a complicar un poco este estudio insertando una nueva recta en esta gráfica y calculando algunos datos.

Nuestra segunda recta va a ser la que tiene por ecuación.

Al igual que antes, pulsamos en el botón Insertar una nueva función (el quinto por la izquierda de la barra de herramientas) para indicar la ecuación de nuestra recta. Sólo rellenamos la casilla de Ecuación de la Función con el texto, dejando el resto de las casillas en blanco, y hemos elegido un trazo en color fucsia de grosor 1.

Las dos sombras que hemos calculado antes nos pueden molestar mientras trabajamos, por lo que las haremos invisibles. Para ello señalamos, por ejemplo, Sombra1 de la columna de la izquierda y pulsamos el botón derecho del ratón, apareciendo el menú contextual del cual desmarcaremos la opción Visible. Haremos lo mismo con Sombra2.

Calculemos los puntos de corte de la nueva recta:

• Corte con el eje X: marcamos la función en la columna de la izquierda, pulsamos en el botón Evaluar la función seleccionada, elegimos del menú desplegable Saltar a: la opción Eje-x, pinchamos en cualquier parte de la gráfica y nos da como valor aproximado 1,33333333 (número decimal periódico). El programa admite como máximo quince cifras decimales, pero como tanta precisión no suele ser necesaria, a él le sirven ocho cifras decimales. Luego, aproximadamente, el primer punto de corte tiene de coordenadas (1,33333333 , 0).
  
  

  

• Corte con el eje Y: elegimos del menú desplegable la opción Función, borramos de la primera casilla todo lo que hubiera y escribimos 0, dándonos como valor. Luego el segundo punto de corte tiene de coordenadas (0 , 4).

La opción Evaluar la función seleccionada nos permite calcular algo más. Te habrás dado cuenta que aparte de Función y Eje-x hay otras dos posibilidades: Extremo e Intersección. Probemos esta última dejando para más adelante la otra.

Mirando la gráfica observamos que las dos rectas se cortan en un lugar del plano. Hay un punto de intersección entre ellas que tendrá unas coordenadas y que averiguaremos usando la opción Intersección. Teniendo pulsada cualquiera de las dos funciones (columna de la izquierda), elegimos Intersección del menú desplegable y pulsamos en cualquier parte de la gráfica. El resultado buscado, el punto de corte, es (0,6 , 2,2) y aparece marcado en la gráfica mediante la intersección de dos líneas rectas de trazo discontinuo.

El punto de intersección junto con los respectivos cortes de las rectas con el eje X forman una figura geométrica conocida como triángulo. Para poder verla bien vamos a sombrear dicha zona del plano: señalamos la ecuación de la primera recta en la columna de la izquierda, pulsamos en el botón Agregar sombreado a una función (noveno por la izquierda de la barra de herramientas), en la pestaña Sombreado elegimos la opción Entre funciones y en la pestaña Segunda Función marcamos la otra recta.

Tras pulsar en el botón OK el resultado que obtenemos es el siguiente (puede diferir en el color y tipo de relleno):

Esto no es lo que queremos, ha señalado las zonas comprendidas entre ambas funciones. Habrá que idear otra forma que nos permita sombrear esa región.

El triángulo podemos verlo como la unión de otros dos: uno es la zona que comprende la rectadesde -0,5 a 0,6 y el otro es la región que comprende la rectadesde 0,6 a 1,33333333. Estos dos triángulos sí que somos capaces de sombrearlos directamente.

Marcamos la rectade la columna de la izquierda y pulsamos en el botón Agregar sombreado a una función. De la pestaña Sombreado elegimos la opción Entre la función y el eje “x”. En la pestaña Opciones de Graph 3 rellenamos el rango, en Desde -0,5 y en Hasta 0,6. En nuestro caso hemos elegido un relleno en forma de rejilla de color verde azulado.

A continuación, marcamos la rectade la columna de la izquierda y pulsamos en el botón Agregar sombreado a una función. De la pestaña Sombreado elegimos la opción Entre la función y el eje “x”. En la pestaña Opciones de Graph 3 rellenamos el rango, en Desde 0,6 y en Hasta 1,33333333. Hemos mantenido el mismo relleno para que se vea bien el triángulo.

El resultado es el siguiente (ampliando la zona):

Esta idea de dividir el triángulo principal en dos también nos va a servir para calcular su área: hacemos primero la zona entre -0,5 y 0,6 para la rectay luego la región entre 0,6 y 1,33333333 para la recta.

Marcamos la rectade la columna de la izquierda y pulsamos en el botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva (séptimo por la derecha de la barra de herramientas). Aparece en la parte inferior izquierda un recuadro, en cuya casilla Desde escribiremos -0,5 y en la de Hasta pondremos 0,6. Su área es de 1,21 unidades cuadradas.

A continuación marcamos la rectade la columna de la izquierda y pulsamos en el botón botón Calcular el área debajo de un segmento de una curva. En el recuadro inferior escribimos 0,6 en la casilla Desde y 1,33333333 en la de Hasta. Su área es de 0,8067 unidades cuadradas.

Por último basta con sumar las dos áreas calculadas para obtener el resultado buscado. El triángulo principal tiene de área:

1,21 + 0,8067 = 2,0167 unidades cuadradas.

Ejercicio 2

Para cada una de las siguientes funciones crea su gráfica y realiza lo indicado. Las tramas y colores los dejamos a tu elección. Guarda todos los ficheros en tu carpeta de trabajo con los nombres que se indican entre paréntesis.

1. (nombre del archivo c4.grf)

• Puntos de corte con los ejes de coordenadas.

• ¿Cuáles son los valores de la función cuando x vale 8, -15, 20 y -23?

• Sombrear las zonas comprendidas entre la función y el eje X para los dos siguientes casos: de 0 a 4 y de -9 a -2,5.

• Calcular las áreas de las zonas sombreadas.

• Calcular las áreas cuando x está entre -4 y -2 y entre 0 y 8.

2. y(nombre del archivo c5.grf)

• Puntos de corte con los ejes de coordenadas (para las dos rectas).

• Coordenadas del punto de intersección entre las dos rectas.

• Sombrear el triángulo que se forma entre las dos rectas y el eje X.

• Calcular el área de dicho triángulo.

3. y(nombre del archivo c6.grf)

• Puntos de corte con los ejes de coordenadas (para las dos rectas).

• Coordenadas del punto de intersección entre las dos rectas.

• Sombrear el triángulo que se forma entre las dos rectas y el eje X.

• Calcular el área de dicho triángulo.

Soluciones

Ejercicio 1

1. Gráfica de c1.grf
   
   
   

   
   
2. Gráfica de c2.grf

1. Gráfica de c3.grf

Ejercicio 2

1. c4.grf

Los puntos de corte con los ejes son (0 , 2) y (4 , 0).

f(8) = -2 ; f(-15) = 9,5 ; f(20) = -8 ; f(-23) = 13,5.

El área entre 0 y 4 vale 4 unidades cuadradas; entre -9 y -2,5 vale 31,6875 unidades cuadradas.

El área entre -4 y -2 vale 7 unidades cuadradas; entre 0 y 8 si lo calculamos directamente sale como resultado 0. Como el área entre 0 y 4 sale positiva (y vale 4 unidades cuadradas) y el área entre 4 y 8 sale negativa (y vale -4 unidades cuadradas), al sumarlas se anulan y por eso sale 0. En verdad el área es siempre positiva (no hay nada en la vida real que tenga un área negativa) por lo que el resultado correcto es 8 unidades cuadradas: 4 de ellas provienen de 0 a 4 y las otras 4 provienen de 4 a 8.

2. c5.grf

Los puntos de corte parason (0 , -2) y (0.5 , 0).

Los puntos de corte parason (0 , 10) y (1,25 , 0).

El punto de intersección tiene de coordenadas (1 , 2).

El área (R1) para la recta entre 0,5 y 1 vale 0,5 unidades cuadradas.

El área (R2) para la rectaentre 1 y 1,25 vale 0,25 unidades cuadradas.

Por tanto, el área del triángulo es de: 0,5 + 0,25 = 0,75 unidades cuadradas.

3. c6.grf

Los puntos de corte parason (0 , -3) y (5 , 0).

Los puntos de corte parason (0 , -1) y aproximadamente (-3,33333 , 0).

Las coordenadas aproximadas del punto de corte son (2,222222 , -1,6667)

El área (R1) para la recta entre 2,222222 y 5 sale aproximadamente -2,3148, como sabemos que debe ser positiva su valor correcto es 2,3148 unidades cuadradas.

El área (R2) para la recta entre -3,333333 y 2,222222 sale aproximadamente -4,96296, como sabemos que debe ser positiva su valor correcto es 4,6296 unidades cuadradas.

Por tanto, el valor aproximado del área del triángulo es:

2,3148 + 4,6296 = 6,9444 unidades cuadradas.

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