En cada una de las permutaciones ordinarias de una serie de elementos ordenados, habrá elementos que queden en su lugar (permanezcan fijos por la permutación) y otros que no. Se llama desordenación a una permutación que no deja fijo ningún elemento.
El número de desordenaciones d(n) que hay en las permutaciones de n elementos se puede calcular de la forma:
Ejemplos:
Para n = 2. Hay 2 permutaciones que dejan fijos los siguientes elementos:
1 , 2 → 2 elementos fijos
2 , 1 → 0 elementos fijos → desordenación
Aplicando la fórmula:
Para n = 3. Hay 6 permutaciones que dejan fijos los siguientes elementos:
1 , 2 , 3 → 3 elementos fijos
1 , 3 , 2 → 1 elementos fijo
2 , 1 , 3 → 1 elementos fijo
2 , 3 , 1 → 0 elementos fijos → desordenación
3 , 1 , 2 → 0 elementos fijos → desordenación
3 , 2 , 1 → 1 elementos fijo
Aplicando la fórmula:
Para n = 4. Hay 24 permutaciones que dejan fijos los siguientes elementos:
1 , 2 , 3 , 4 → 4 elementos fijos
1 , 2 , 4 , 3 → 2 elementos fijos
1 , 3 , 2 , 4 → 2 elementos fijos
1 , 3 , 4 , 2 → 1 elementos fijo
1 , 4 , 2 , 3 → 1 elementos fijo
1 , 4 , 3 , 2 → 2 elementos fijos
2 , 1 , 3 , 4 → 2 elementos fijos
2 , 1 , 4 , 3 → 0 elementos fijos → desordenación
2 , 3 , 1 , 4 → 1 elementos fijo
2 , 3 , 4 , 1 → 0 elementos fijos → desordenación
2 , 4 , 1 , 3 → 0 elementos fijos → desordenación
2 , 4 , 3 , 1 → 1 elementos fijo
3 , 1 , 2 , 4 → 1 elementos fijo
3 , 1 , 4 , 2 → 0 elementos fijos → desordenación
3 , 2 , 1 , 4 → 2 elementos fijos
3 , 2 , 4 , 1 → 1 elementos fijo
3 , 4 , 1 , 2 → 0 elementos fijos → desordenación
3 , 4 , 2 , 1 → 0 elementos fijos → desordenación
4 , 1 , 2 , 3 → 0 elementos fijos → desordenación
4 , 1 , 3 , 2 → 1 elementos fijo
4 , 2 , 1 , 3 → 1 elementos fijo
4 , 2 , 3 , 1 → 2 elementos fijos
4 , 3 , 1 , 2 → 0 elementos fijos → desordenación
4 , 3 , 2 , 1 → 0 elementos fijos → desordenación
Aplicando la fórmula:
En la siguiente escena se pueden ver algunos ejemplos:
Actividad 1.
Calcular: a) d(6) b) d(8) c) d(9) d) d(11) e) d(12) f) d(13) g) d(14)
Actividad 2.
Las seis primeras alumnas de la lista salen a la pizarra a realizar actividades. ¿De cuántas formas pueden salir de forma que en ninguna coincida su turno con su orden alfabético?