COMBINATORIA

12. EJERCICIOS.

12.4. Ejercicios con contexto

Pulsando sobre el número de orden de cada ejercicio, puedes practicar antes de resolverlos y comprobar la solución después de haberlos resueltos.

1. En una clase hay 14 alumnas y 10 alumnos.

a) ¿Cuántas elecciones distintas de delegado(a) y subdelegado(a) se pueden dar?

b) ¿Y si la delegada tiene que ser una alumna y el subdelegado un alumno?

2. Un profesor elige al azar a un alumno o alumna de la clase para salir a la pizarra a resolver un ejercicio. A continuación vuelve a repetir el mismo procedimiento para corregir un segundo ejercicio, sin excluir a la persona que ha salido anteriormente. ¿Cuántas posibilidades hay para corregir los dos ejercicios si la clase tiene 24 personas entre alumnos y alumnas?

3. ¿De cuántas formas pueden salir a la pizarra los 24 alumnos y alumnas de una clase si deben salir todos una vez nada más?

4. En clase hay 14 alumnas y 10 alumnos. ¿De cuántas formas pueden salir a la pizarra si sólo se tiene en cuenta si es alumna o alumno?

5. En una clase hay 14 alumnas y 10 alumnos. Hay que elegir a cinco personas para realizar un trabajo.

a) ¿De cuántas formas se pueden elegir las cinco personas?

b) ¿De cuántas formas se puede hacer si hay que elegir a tres alumnas  y dos alumnos? 

6. Un profesor elige al azar a un alumno o alumna para salir a la pizarra a resolver un ejercicio. Después vuelve a repetir el mismo procedimiento para corregir un segundo ejercicio, sin excluir a la persona que ha salido anteriormente, pero con la condición de que la segunda persona no sea anterior a la primera en orden alfabético. ¿Cuántas posibilidades hay para corregir los dos ejercicios si la clase hay 24 personas entre alumnos y alumnas?

7. ¿De cuántas formas se pueden sentar siete alumnos(as) en una mesa redonda?

8. Las seis primeras alumnas de la lista salen a la pizarra a realizar actividades. ¿De cuántas formas pueden salir de forma que en ninguna coincida su turno con su orden alfabético?

9. Un partido de tenis acaba cuando uno de los jugadores ha ganado dos sets. ¿De cuántas formas distintas se puede desarrollar? ¿Y si el partido se disputa al primero que gane tres sets?

10. Una persona intenta recordar una clave de seis letras que ha olvidado, aunque recuerda que estaba formada utilizando dos veces cada una de las iniciales de su nombre "ABC". ¿Cuántos intentos puede hacer para adivinarla?

11. En el juego del bingo cada uno de los cartones contiene 15 números de 90 posibles. Si cada jugador dispone de un cartón, ¿cuántas personas pueden participar cada vez?

12. ¿De cuántas formas se pueden colocar ocho torres en un tablero de ajedrez sin que se puedan comer unas a otras ? ¿Y si se añade la condición de que no haya ninguna en la diagonal principal?

13. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 3, 4, 5, 6, ..., n lados? ¿Cuántos lados tiene un polígono que tiene 189 diagonales?

14. ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra TRIÁNGULO? ¿Cuántas de ellas tienen las consonantes juntas? ¿Cuántas tienen las vocales juntas?

15. ¿Cuántas palabras con o sin significado se pueden formar con las letras de la palabra ORTOEDRO?

16. Se lanza una moneda cinco veces consecutivas y se anotan los resultados (cara o cruz) en el orden en que aparecen. ¿Cuántos resultados distintos se pueden dar?

17. ¿Cuántas banderas con tres franjas horizontales de colores distintos se pueden formar utilizando los colores amarillo, rojo, azul y verde? ¿Y si las franjas extremas pueden ser del mismo color?

18. ¿Cuántas cantidades exactas podemos pagar con los siete billetes que tenemos en circulación utilizando desde uno hasta siete billetes distintos? Los billetes tienen un valor de 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500 euros.

19. El cubo de Rubik es un rompecabezas formado por un cubo cuyas caras están divididas en tres filas y 3 columnas (9 cuadrados) que pueden girar en cualquier dirección para conseguir que los nueve cuadrados de cada cara queden del mismo color ¿Cuántas posiciones distintas tiene?

20. Un estudiante debe elegir siete de las diez preguntas de un examen. ¿De cuántas formas distintas puede contestar el examen? ¿Y si las tres primeras son obligatorias?

21. Tenemos en el bolsillo tres monedas de un euro y tres de dos euros. Sacamos tres a la vez, ¿cuántas cantidades distintas podemos obtener?

22. El alfabeto Braille consiste en seis puntos en relieve, organizados en una matriz de tres filas por dos columnas, que se numeran de arriba a abajo y de izquierda a derecha. La existencia o no de un punto en cada una de las posiciones determina el símbolo representado. ¿Cuántos símbolos se pueden construir?

23. En una jornada de un congreso de Matemáticas se van a dar siete conferencias por siete personas distintas. ¿De cuántas formas distintas se pueden organizar? ¿Y si las conferencias de inauguración y clausura deben estar en su lugar correspondiente?

24. En un plano hay siete puntos de forma que no hay tres de ellos alineados. ¿Cuántas rectas distintas se pueden trazar? ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir?

25. Un engranaje está formado por ocho ruedas dentadas, dispuestas en círculo, de forma que cada una de ellas está conectada a otras dos. ¿De cuántas formas se pueden colocar las ocho ruedas?

26. Un chico compra para una amiga un ramo formado por diez flores. ¿Cuántas formas tiene para elegirlo si en la floristería hay cuatro tipos de flores distintas?

27. Un estudiante tiene nueve asignaturas. ¿Cuántas calificaciones distintas puede obtener en la evaluación final distinguiendo únicamente aprobado o suspenso?

28. Un entrenador de fútbol tiene una plantilla formada por tres porteros, ocho defensas, siete medios y seis delanteros. ¿Cuántas alineaciones puede hacer para un partido determinado si quiere poner un portero, tres defensas, cuatro medios y tres delanteros? (No hay que distinguir posiciones entre los defensas, medios o delanteros).

29. ¿Cuántas ordenaciones se pueden hacer con las letras A, B, C, D, E? ¿En cuántas está A en primera posición? ¿En cuántas está A en primera posición y B en tercera?

30. ¿Cuántos números del 1 al 1000 verifican que la suma de sus cifras es igual a 7?

31. Al comprar los nueve libros de texto de su curso, un estudiante se da cuenta que tiene dinero nada más que para comprar seis. ¿Cuántas compras puede hacer si todos los libros tienen el mismo precio?

32. a) ¿Cuántos números de cuatro cifras tienen exactamente dos veces la cifra 4?

       b) ¿Cuántos tienen dos veces la cifra 0?

33. Una persona compra en una pastelería una docena de pasteles. Si solamente hay tres variedades diferentes, ¿cuántas posibilidades hay para comprar la docena? ¿Y si al menos debe haber dos pasteles de cada una de las tres variedades?

 34. Siete amigos van al cine y se sientan en butacas consecutivas. ¿De cuántas formas pueden hacerlo? Si de los siete, cinco son chicos y dos chicas, ¿de cuántas formas se pueden sentar si las dos chicas se sientan juntas? ¿Y si se sientan en los extremos?

35. En una bolera hay 10 bolos numerados del 1 al 10. Un jugador lanza una bola y puede tirar cualquier número de bolos. ¿Cuántas posibilidades hay?

36. En una cuadrícula de cuatro filas por cinco columnas nos desplazamos siguiendo los lados de los cuadrados que la forman. ¿Cuántos caminos de longitud mínima existen para ir del vértice inferior izquierdo al vértice superior derecho?

37. En una cuadrícula de cuatro filas por cinco columnas repartimos 12 bolas en sus casillas, de forma que en cada casilla sólo puede haber una bola. ¿Cuántas formas hay de hacerlo si?

a) Las bolas son distintas

b) Las bolas son iguales

38. En el sorteo diario de la O.N.C.E. cada cupón tiene un número comprendido entre 00000 y 99999. Se extrae un único número como premiado y obtienen premio todos los cupones cuyas cinco, cuatro, tres o dos últimas cifras coincidan con el número premiado. Además obtienen reintegro todos los cupones cuya primera o quinta cifra coincida con la del número extraído, pero en un cupón no pueden coincidir más de un premio. ¿Cuántos cupones obtienen premio?

39. Lotería de Navidad. Un billete está formado por diez décimos de un mismo número. Una serie está formada por un billete de cada uno de los números. En el sorteo del 22 de diciembre de 2009 se emitieron 195 series de 85000 billetes cada una. ¿Cuántos décimos se pusieron a la venta?

40. Una apuesta del sorteo de Euromillones consiste en elegir cinco números de un bloque de números del 1 al 50 y otros dos llamados estrellas de otro bloque de números del 1 al 9. ¿Cuántas apuestas habría que hacer para tener la seguridad de acertar la combinación ganadora?

41. En una clase hay 14 alumnas y 10 alumnos. Se vuelven a encontrar después de las vacaciones y se saludan de dos en dos. ¿Cuántos saludos habrá? En otra situación hubo 780 saludos, ¿cuántas personas había?

42. Una mesa de billar tiene quince bolas distintas y seis agujeros para introducirlas.

a) ¿Cuántas formas hay de introducir las bolas en los agujeros?

b) ¿Cuántas formas habría si las bolas fuesen iguales?

43.      a) ¿De cuántas formas se pueden sentar cuatro personas en siete sillas distintas?

b) ¿De cuántas formas se pueden sentar cuatro personas en siete sillas iguales?

44. ¿De cuántas formas se pueden colorear 4 figuras iguales utilizando 6 colores con las siguientes condiciones?

a) Las figuras son iguales y no se pueden repetir colores.

b) Las figuras son iguales y se pueden repetir colores.

c) Las figuras son distintas y no se pueden repetir colores.

d) Las figuras son distintas y se pueden repetir colores.

45. Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6

a) ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formar?

b) ¿Cuántos empiezan por 1?

c) ¿Cuántos acaban en 24?

d) ¿En cuántos está el número 5?

e) ¿En cuántos no está el número 5?

f) Calcular la suma de todos los números del apartado a)?

46. Utilizando las cinco vocales

a) ¿Cuántas palabras con o sin significado podemos construir utilizando tres letras iguales o distintas?

b) ¿Cuántas empiezan por a?

c) ¿Cuántas acaban por u?

d) ¿Cuántas empiezan por a y acaban por u?

e) ¿Cuántas no contienen la letra o?

47. Con los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) ¿Cuántos subconjuntos de cinco elementos se pueden formar?

b) ¿En cuántos está el número 1?

c) ¿En cuántos no está el número 2?

d) ¿En cuántos está el 3 y no está el 5?

48. En una estantería hay tres libros de Matemáticas de los cursos primero, segundo y tercero de ESO; dos libros de Historia de los cursos primero y segundo de ESO; y cuatro libros de Francés de los cursos primero, segundo, tercero y cuarto de ESO. ¿De cuántas formas se pueden ordenar con las siguientes condiciones?

a) Los libros de la misma asignatura deben estar juntos.

b) Los libros del mismo curso deben estar juntos.

c) Sin ninguna condición.

d) ¿De cuántas formas se pueden ordenar tres libros de Matemáticas, dos de Historia y cuatro de Francés, siendo todos de primero de Bachillerato?

49. En la final olímpica de 100 metros lisos participan ocho atletas.

a) ¿Cuántas clasificaciones distintas puede haber?

b) ¿De cuántas formas se pueden repartir las tres medallas?

c) Si de los ocho atletas, tres son americanos y cinco europeos, ¿cuántas clasificaciones puede haber si sólo observamos los continentes de procedencia?

50. Un profesor da las calificaciones de la primera evaluación a un grupo de 20 alumnos por orden alfabético.

a) ¿Cuántas secuencias de calificaciones distintas puede haber sabiendo que son números del 1 al 10?

b) ¿Cuántas si sólo se califica como aprobado o suspenso?

c) ¿Cuántas si el profesor decide dar 2 sobresalientes, 4 notables, 6 aprobados y 8 suspensos?

51. Una aplicación es una correspondencia entre dos conjuntos de forma que cada elemento del conjunto inicial tiene una sola imagen. ¿Cuántas aplicaciones se pueden construir de un conjunto de cuatro elementos en un conjunto de siete elementos?

52. Una aplicación es inyectiva si cada elemento del conjunto final tiene como máximo un origen. ¿Cuántas aplicaciones inyectivas se pueden construir de un conjunto de cuatro elementos en un conjunto de siete elementos?

53. Una aplicación es sobreyectiva o suprayectiva si todos los elementos del conjunto final tienen al menos un origen. ¿Cuántas aplicaciones sobreyectivas se pueden construir de un conjunto de seis elementos en un conjunto de tres elementos?

54. Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir, si cada uno de los elementos del conjunto final tiene un solo origen ¿Cuántas aplicaciones biyectivas se pueden construir de un conjunto de cinco elementos en el mismo conjunto? ¿Cuántas de estas aplicaciones no dejan ningún elemento fijo?

55. Con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7:

a) ¿Cuántas ordenaciones se pueden hacer?

b) ¿Cuántas de ellas no tienen ningún elemento fijo?

c) ¿Cuántas tienen un elemento fijo?

d) ¿Cuántas tienen dos elementos fijos?

e) ¿Cuántas tienen tres elementos fijos?

f) ¿Cuántas tienen cuatro elementos fijos?

g) ¿Cuántas tienen cinco elementos fijos?

h) ¿Cuántas tienen seis elementos fijos?

i) ¿Cuántas tienen siete elementos fijos?

j) Comprobar que la suma de los resultados de los apartados b) ... i) coincide con el número de ordenaciones obtenido en el apartado a).

56. Se dispone de una cuadrícula de 9 por 11 puntos. Se representan siete segmentos, haciendo coincidir el extremo final de cada uno con el extremo inicial del siguiente. Se representan también cuatro puntos no coincidentes con los extremos de los segmentos. ¿Cuántas posibilidades hay? ¿Y si la cuadrícula es de m por n puntos?