Sea B un punto de una circunferencia y A un punto exterior a ella. Sea P el punto de intersección de la mediatriz del segmento AB con el radio OB. Hallar el lugar geométrico que describe el punto P cuando B  recorre la circunferencia.

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Ejercicio

          Para poder obtener la ecuación del lugar geométrico pedido debemos resolver previamente las dos observaciones siguientes
i) Como el punto P pertenece a la mediatriz del segmento AB, ¿qué relación existe entre las longitudes de los segmentos AP y BP?
ii) Determinar el valor absoluto de la diferencia de las longitudes de los segmentos OP y AP.
 

          Atendiendo a las recomendaciones anteriores, para obtener la ecuación del lugar geométrico pedido en el problema anterior debemos realizar los pasos que se indican a continuación
i) Situar un sistema de coordenadas con origen el centro de la circunferencia y eje en la dirección del segmento OA.
ii) Determinar la longitud del semieje mayor y la semidistancia focal.
iii) Determinar la ecuación del lugar geométrico.

            Este problema se basa en el concepto de circunferencia focal de una hipérbola. Para cada punto P de la hipérbola tomemos sobre la semirrecta que contiene al radio vector OP  un punto B  tal que la longitud del segmento PB sea igual a la del radio vector AP. Puesto que el valor absoluto de la diferencia de las longitudes de los radios vectores OP y   AP  es constante e igual a  2a,   | OP – BP |  = | OP – AP | = 2a, el lugar geométrico de los puntos B obtenidos al variar el punto P sobre la hipérbola es una circunferencia de radio 2a y centro O, que se llama circunferencia focal. Existe una para cada foco. El segmento PQ es la distancia del punto P a la circunferencia focal. Como consecuencia de esto podemos dar como definición de hipérbola la siguiente.

 Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de una circunferencia y de un punto exterior.

            Observando que la circunferencia de centro P y radio PA es tangente a la circunferencia focal F resulta también:

 Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico de los centros de la circunferencia tangentes a una fija y que pasan por un punto exterior.

          Dada una circunferencia se consideran los extremos A y B de uno de sus diámetros y dos puntos variables C y D simétricos con respecto a dicho diámetro. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de la recta r (B, C) con la recta r (A, D).

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Ejercicio

          Para obtener la ecuación del lugar geométrico pedido en el problema anterior y obtenido gráficamente con este applet debemos realizar los pasos que se indican a continuación
i) Situar adecuadamente un sistema de coordenadas cartesianas. Por ejemplo, tomar como origen el centro de la circunferencia y eje OX el diámetro AB.
ii) Si el radio de la circunferencia es R, ¿qué coordenadas tienen los punto A y B?
iii) Dar las coordenadas de los puntos C y D de la circunferencia en coordenadas polares.
iv) Determinar las ecuaciones de las rectas r (A, D)   y  r (B, C).
v) Obtener la ecuación del lugar geométrico del punto P.

Problema resuelto

 

La circunferencia principal de una hipérbola	La lemniscata como curva podaria de una circunferencia