Sea A un punto interior de una circunferencia de centro O. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por el punto A y son tangentes a la circunferencia dada.

Observación: Teniendo en cuenta el procedimiento geométrico para trazar una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente en uno de ellos a una circunferencia, el problema anterior puede enunciarse de la siguiente manera

          Sea B un punto de una circunferencia y A un punto interior a ella. Sea P el punto de intersección de la mediatriz del segmento AB con el radio OB. Hallar el lugar geométrico que describe el punto P cuando B  recorre la circunferencia.

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Ejercicio

          Para poder obtener la ecuación del lugar geométrico pedido debemos resolver previamente las dos observaciones siguientes:
i) Puesto que el punto P pertenece a la mediatriz del segmento AB, ¿qué relación existe entre las longitudes de los segmentos AP y BP?
ii) Determinar la suma de las longitudes de los segmentos OP y AP.

          Atendiendo a las recomendaciones anteriores, para obtener la ecuación del lugar geométrico pedido en el problema anterior debemos realizar los pasos que se indican a continuación

i) Situar un sistema de coordenadas con origen el centro de la circunferencia y eje en la dirección del segmento OA.
ii) Determinar la longitud del semieje mayor y la semidistancia focal.
iii) Determinar la ecuación del lugar geométrico.
 

            Este problema se basa en el concepto de circunferencia focal de una elipse. Para cada punto P de la elipse tomemos sobre la semirrecta que contiene al radio vector OP un punto B tal que la longitud del segmento PB sea igual a la del radio vector AP. Puesto que la suma de las longitudes AP + OP es constante e igual a la longitud del eje mayor,  OP + PB = OP + AP = 2a,  el lugar geométrico de los puntos  B  obtenidos al variar el punto  P sobre la elipse es una circunferencia de radio 2a  y centro  O, que se llama circunferencia focal. Existe una para cada foco. El segmento PB  es la distancia del punto P a la circunferencia focal. Como consecuencia de esto podemos dar como definición de elipse la siguiente.

 Definición: Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de una circunferencia y de un punto interior.

              Observando que la circunferencia de centro P y radio PA es tangente a la circunferencia focal resulta también:

Definición: Una elipse es el lugar geométrico de los centros de la circunferencia tangentes a una fija y que pasan por un punto interior.