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Consideremos una circunferencia con diámetro
AB y la
recta tangente a ella en el punto B. Por el punto A se
traza una semirrecta variable que corta a la circunferencia en el punto C
y a la recta tangente dada en el punto D. Por los puntos C
y D se trazan rectas paralelas a la tangente y al diámetro
respectivamente, hasta intersecarse en el punto M. Al girar
esta semirrecta, el punto M describe una curva denominada
curva de Agnesi.
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Ejercicio
Para obtener la ecuación del lugar geométrico pedido
en el problema anterior y obtenido gráficamente con este applet debemos realizar
los pasos que se indican a continuación
i) Situar un sistema de coordenadas cartesianas de manera que el punto
A sea el origen de coordenadas el eje OY en la dirección del diámetro AB.
ii) Determinar la ecuación de una circunferencia con centro en el eje de
abscisas y radio r.
iii) ¿Qué coordenadas tiene el punto B? ¿Cuál es la
ecuación de la recta tangente a la circunferencia por el punto B?
iii) Si D es un punto cualquiera de la recta tangente a la
circunferencia, escribir la ecuación de la recta r (A, D)
y obtener las coordenadas del otro punto C de corte con la
circunferencia.
iv) Obtener la ecuación del lugar geométrico del punto P.
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Dada una circunferencia de radio r y una recta
perpendicular a uno de sus diámetros AB o a su prolongación,
se traza una recta por A que corta en C a la
circunferencia y en D a la recta. Por los puntos C
y D se trazan rectas paralelas a la recta dada y al diámetro AB
hasta cortándose en el punto P. Hallar el lugar geométrico
del punto P al variar el punto C sobre la
circunferencia.
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