CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS
Análisis
1. LA FUNCIÓN INTEGRAL
Para cada valor de x perteneciente a un intervalo [a,b], se puede calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función y=f(x) y el eje de abscisas entre a y x.

De esta forma, dada una función y=f(x) podemos construir otra nueva función, de manera que para cada valor de x, represente el área del recinto definido anteriormente. A esta nueva función la vamos a designar por A(x)
1.- Construye la función área asociada a la función f(x)=-(x2/10)+2 en el intervalo [0,4.5]
Usa los pulsadores de colores que hay junto al valor de x.

2.- Analiza las características de la función y=A(x). ¿Qué signo tendrá?. ¿Es monótona?. ¿Qué relaciones encuentras entre las propiedades de f y A?.

De una forma análoga, partiendo de una función continua y=f(x) podemos definir otra función y=F(x) en el intervalo [a,b] determinada por la relaciónfin.gif (1249 bytes). Esta función recibe el nombre de  función integral.
3.- ¿Qué valor tendrá F(a)?. ¿En qué condiciones será cierta la igualdad F(x)=A(x)?. ¿Qué valor tendrá F(b)?.

4.- Determina en qué condiciones la función integral será siempre positiva.
2. LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INTEGRAL
Consideremos dos posiciones en el intervalo [a,b] muy próximas entre sí, x y x+h (con h una cantidad pequeña y positiva) y una función y=f(x) positiva.
5.- Entre x y x+h se puede considerar la franja del recinto naranja que se extiende bajo la gráfica de f y los rectángulos que por exceso (turquesa) y defecto (rojo), aproximan a esa franja. Calcula la relación de orden entre las áreas de las tres zonas en función de f, F y h para cada x del intervalo (a,b)

6.- Comprueba y deduce la siguiente relación para la función f

7.-En el caso que la función f hubiera sido monótona creciente ¿Qué relación hubiéramos obtenido?.

8.-Estudia los casos de una función no monótona y cuando h<0.
Si mh y Mh son respectivamente los valores mínimo y máximo de f en [x,x+h] entonces tfci2.gif (1250 bytes).

9.- Observa qué es lo que ocurre cuando se hace tender h a 0.

10.- Demuestra que la derivada de F(x) es justamente la función f(x). Has utilizado una propiedad fundamental de la función f ¿Cuál es?.
3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si f es una función continua en un intervalo [a,b], la función integral F(x) es derivable en (a,b) y además su derivada F'(x)=f(x). Este resultado es conocido como el teorema fundamental del cálculo. De forma equivalente este teorema se puede enunciar como: La función integral es una primitiva de f.
 

11.- Observa la escena contigua y comprueba geométricamente el teorema fundamental del cálculo integral.

12.- Observa la siguiente interpretación geométrica del teorema fundamental del cálculo integral: Una varilla de altura variable f(x) se desliza, a partir de una valor a, por el eje de abscisas y va pintando el recinto entre la gráfica de la función y el propio eje de abscisas. La superficie pintada o el área barrida hasta un instante t=x es concretamente intertfci.gif (1186 bytes), ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en ese instante t=x de área pintada?. Precisamente lo que varía en ese momento es lo que pinta la varilla, esto es, la superficie de la propia varilla, que es igual a su longitud luego f(x).
4. LA REGLA DE BARROW
Nuestro objetivo en esta sección es el cálculo de integrales definidas. La integral definida de una función entre a y b se puede ver como el valor de F(b), siendo F la función integral de f. Además sabemos que F es una primitiva de f. La regla de Barrow conjuga estos conceptos para dar una regla práctica que nos va a permitir calcular F(b) o equivalentemente el valor de la integral definida de f entre a y b.

13.- Si queremos calcular F(b) necesitaríamos conocer una expresión analítica de F. Siguiendo las reglas de integración elemental, calcula una primitiva de f que llamaremos G. Tanto G como F son primitivas de f ¿Son la misma función?.

En el recuadro inferior de la escena (donde aparece la ecuación en amarillo y=0) puedes introducir la expresión de G y ésta será dibujada.

14.-¿Qué diferencias aprecias entre las gráficas de F y G?. ¿Esto es coherente con los conocimientos que dispones sobre integral indefinida?.

15.-Calcula la constante que diferencia las primitivas F y G de f. (indicación: fíjate que ocurre cuando x=a).

Puedes ayudarte del segmento verde que aparece en la escena. Su longitud es variable modificando el valor de l. Puedes trasladarlo arrastrando el control que tiene en su extremo inferior.
16.- Deduce la siguiente relación: Si F(x) es la función integral de f y G es otra primitiva cualquiera de f entonces 
F(x)=G(x)-G(a) y por tanto F(b)=G(b)-G(a).
Sea f una función continua en un intervalo [a,b] y G(x) una primitiva cualquiera de f(x) en [a,b]. Entonces Barrow.gif (1300 bytes). Este resultado es la Regla de Barrow y nos relaciona la integral definida (y por tanto el cálculo de áreas) y la teoría de la integración (como cálculo de primitivas o antiderivadas).

Para calcular integrales definidas

  • Calculamos una primitiva de f
  • Evaluamos la primitiva en a y b
  • Realizamos la diferencia del valor obtenido en b menos el obtenido en a
Enrique Martínez Arcos
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

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