APLICACIONES DE LA INTEGRAL AL CÁLCULO DE ÁREAS | |
Análisis | |
1. ÁREA DEL RECINTO DONDE INTERVIENE UNA FUNCIÓN POSITIVA | |||
Dada una función continua f y positiva en un intervalo [a,b], el área del recinto comprendido bajo la gráfica y=f(x) y limitado por el eje de abscisas, la recta x=a y la recta x=b, viene dada por . | |||
1.- Calcula el área del recinto limitado
por la gráfica de la función , el eje de abscisas y las rectas verticales x=-1 y x=2.
2.- Calcula el área del recinto limitado por la función (x-2)ex y el eje de abscisas entre 2 y 3. 3.- Calcula el área del recinto limitado por la curva y=-x2, el eje de abscisas y las rectas x=2 y x=4. ¿Qué ha ocurrido?. |
2. ÁREA DEL RECINTO DONDE INTERVIENE UNA FUNCIÓN NEGATIVA | |||
4.- Si la función f es negativa en un
intervalo [a,b]. ¿De qué signo
será la integral de f en ese intervalo?. Entonces, ¿el área puede ser igual a la
integral?. 5.- Comprueba que las áreas de los recintos limitados por el eje de abscisas, las rectas x=a y x=b y las gráficas de las funciones f y -f son idénticas.
6.- Comprueba que las sumas de Riemman, tanto inferiores como superiores, de la integral de f y -f son opuestas. Deduce la relación que hay entre las integrales en un mismo intervalo de las funciones f y -f. |
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Dada una función continua f y negativa en un intervalo [a,b], el área del recinto comprendido encima de la gráfica y=f(x) y limitado por el eje de abscisas, la recta x=a y la recta x=b, viene dada por . |
3. ÁREA DEL RECINTO LIMITADO POR UNA FUNCIÓN ARBITRARIA | ||
Dado que trabajamos con funciones continuas, aplicando el Teorema de Bolzano sabemos que en un intervalo o bien la función es positiva o bien negativa o bien si hay un valor de x donde es positiva y otro valor donde es negativa existirá un valor intermedio donde se hace cero. | ||
7.- Calcula el área del recinto limitado por
la gráfica de la función
8.- Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función coseno y el eje de abscisas entre 0 y 2*p . 9.- ¿Cuánto valdrá la integral definida de una función impar en un intervalo [-a,a]. |
4. ÁREA DEL RECINTO LIMITADO POR DOS FUNCIONES | |||
Sean dos funciones f y g. El objetivo es calcular el área del recinto que encierran las gráficas de ambas funciones y las rectas x=a y x=b | |||
10.- Calcula la superficie del recinto
limitado por las funciones
11.-Deduce una fórmula general para calcular el área del recinto limitado por dos funciones que verifican en [a,b] la relación g(x)<f(x). 12.-¿Qué ocurrirá si alguna de las dos o ambas no son positivas?.
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13.-Demuestra que en general, el área del
recinto limitado por dos funciones f y g con g<f es igual a la integral definida entre
a y b de la función diferencia f-g independientemente del signo de cualquiera de ellas. 14.-Replantéate la situación si las funciones f y g se cortan. |
Enrique Martínez Arcos | |
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | |
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