I Producto de un número complejo por un número real
Dados un número complejo z=a+bi
y un número real l
, se define el producto de l por z
como otro número complejo determinado por l´z=(l´a)+(l´b)i
1.- Observa que la definición del producto es coherente
con las reglas generales de la aritmética. Transforma el producto
en un suma y utiliza las definiciones obtenidas para la suma de números
complejos .(Para
modificar la posición del número complejo o bien utiliza
las flechas o bien arrastra el afijo. Para cambiar el número real
l utiliza las flechas)
2.- Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
3.- ¿Cómo varía el módulo
y argumento de un número complejo cuando se le multiplica por un
número real?. Deduce una relación que permita multiplicar
en coordenadas polares.
4.- Explica cómo se mueve el afijo del número complejo
cuando a éste se le multiplica por un número real. ¿Has probado con números negativos?. ¿Y con números reales menores que uno?.
5.- Determina el movimiento que realiza el afijo de cualquier número complejo
cuando a éste se le multiplica por l=-1.
Como ya habrás notado al multiplicar un número complejo z por un número real mayor que uno se produce una dilatación
(también llamada homotecia) en la dirección de la recta que une el afijo con el origen de coordenadas, y se produce una contracción si 0<l<1.
El efecto sobre una figura plana, al dilatarse (o contraerse, en su caso) cada uno de los puntos que la forman, hace que la figura en conjunto se dilate o contraiga en función del valor de l
a) 2´i
b)-2´(3-4i)
II Aplicación geométrica
del producto de un número complejo por un número real.
6.- Todo número real negativo se puede escribir como el producto de -1 por su valor absoluto. En estas condiciones ¿Qué transformación cabría esperar que se produjese sobre el afijo de un número complejo cuando a éste se le multiplica por un número real negativo?.
III Producto de un número complejo por la unidad imaginaria.
Si tuvieras que realizar la siguiente operación
i´(a+bi)
y suponiendo que i significara un radical. ¿Cómo lo harías?. (Recuerda que
i2=-1).
Se define el producto de i por un número complejo z=
a+bi
como el número complejo -b+ai
7.- Observa que los afijos de z y de i´z son los extremos de la diagonal de un rectángulo que posee la misma longitud de sus respectivos lados. Además la posición de cada rectángulo es la del otro girada 90º en sentido contrario a las agujas del reloj. En estas condiciones deduce la relación que hay entre los números complejos z e i´z en forma polar.
8.- ¿Cuál será el resultado de multiplicar a un número complejo por i2=-1?. (Revisa la coherencia de tus resultados con los obtenidos en ejercicios anteriores).
IV Aplicación geométrica del producto de un número complejo por i.
Al multiplicar un número complejo por i, el afijo que representa al
número complejo gira 90º en sentido contrario a las agujas del reloj.
9.- Observa el resultado de multiplicar cada elemento de la figura verde por i (Puedes desplazar la figura arrastrando el punto amarillo z o utilizando las flechas)
10.- ¿Qué ocurrirá si se multiplica por -i?.
11.- Halla el valor de la potencia 10 de i. Obtén un método adecuado
para calcular el resultado de cualquier potencia de i. Aplícalo para calcular:
a) i10 b) (-i)21 c) i305
V Producto de dos números complejos.
Siguiendo las pautas de las actividades anteriores se define el producto de los
números complejos z1=a+bi
por z2=c+di,
como otro número complejo determinado por
12.- Utiliza las fórmulas trigonométricas de la adición de ángulos y las relaciones entre la forma binómica y polar de un número complejo para demostrar la siguiente relación del producto de números complejos en forma polar: (r)a´(r')b=(r´r')a+b
13.- Realiza las siguientes cálculos
a)(5+i)(4-2i)
b) (10)135º(7)45º c) (3+i)(-4+20i)
14.- Resuelve la siguiente ecuación compleja: (3-5i)z=2z
15.- Deduce la propiedad que verifica el resultado de multiplicar
un número
complejo por su conjugado. ¿Qué resultado se obtendrá al multiplicar (a+bi) por (a-bi)?.
VI Significado geométrico
del producto de dos números complejos.
Según lo visto en el ejercicio 12, al realizar el producto de un número
complejo por otro, los módulos se multiplican y los argumentos se suman. De esta manera
el afijo se dilata o contrae (según sea el valor de r') y al mismo tiempo realiza un giro
de centro el origen de coordenadas, en sentido contrario a las agujas del reloj si el argumento es
positivo y como las agujas del reloj en caso contrario.
16.- Comprueba las conclusiones a las que has llegado en los casos particulares del producto por un número real positivo, negativo o por i.
17.- ¿Cuál será el significado de multiplicar un número
complejo por otro cuyo módulo sea 1?
Todo número complejo se puede descomponer en el producto de un número real positivo por un número complejo de módulo 1. (r)a=r(1)a=(1)ar.
De esta manera es más sencillo observar cómo un producto de números complejos
se puede interpretar como el resultado de una dilatación (o contracción) y un giro o de
forma conmutativa de un giro y una dilatación (o contracción.
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