NÚMEROS COMPLEJOS
 
Interpretación geométrica de los numeros complejos

I El plano complejo

Si dibujamos un sistema de coordenadas cartesianas, los números complejos se puede identificar con puntos del plano y recíprocamente cada punto del plano se corresponde con un número complejo. Así el número complejo z=a+bi queda representado por el punto P de coordenadas (a,b).

Esta interpretación fue dada por Carl Friedrich Gauss y dio sentido a unos números que hasta entonces eran definidos como "una especie de anfibio entre ser y no ser" (Leibnitz) o como "números que no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios o imposibles" (Euler).

 

1.- Comprueba que cada punto representa a un número complejo diferente y recíprocamente cada número complejo está representado por un único punto. (Para cada caso varía la situación el punto P arrastrándolo o en su lugar modifica los valores de la parte real e imaginaria del número complejo con las flechitas)

Al punto P que representa al número complejo z, se le llama afijo de z.

Al conjunto de todos los números complejos representados en el plano recibe el nombre de Plano complejo. A los ejes de abscisas y ordenadas se le renombra como Eje Real e Imaginario respectivamente, dado que representan las partes reales e imaginarias de cada número complejo.

 2.- Determina la propiedad que verifican todos los números complejos que:
        a) Tienen su parte real igual a 0.
        b) Tienen su parte imaginaria igual a 0.
        c) Están situados en la bisectriz del primer cuadrante.
        d) La parte imaginaria es el triple de su parte real.


 
II Representación en coordenadas polares.

La forma cartesiana no es la única forma de localizar puntos en el plano. En una pantalla circular de radar es más conveniente dar la posición de un punto luminoso mediante su distancia al centro y su dirección angular. Fijado el punto P su distancia al origen es la longitud del segmento OP, y para fijar la longitud angular tomarémos el ángulo a, que forma OP con el semieje positivo del eje real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj.

Por tanto, las coordenadas polares de un punto P(a,b) del plano vienen dadas por dos números que se denominan módulo r y argumento a.
 
 

 

3.- Observa que utilizando esta nueva representación de los puntos del plano, cada número complejo a su vez puede determinarse mediante el módulo y argumento, lo que formaran las coordenadas polares del número complejo z.

4.- Verifica las coordenadas polares de los puntos que se indican a continuaciín y escribe la forma polar y binómica de los números complejos que representan

P(1,0); P(0,2); P(3,3); P(-1,Ö3).
 

III Ambigüedad del argumento

Un mismo número complejo z puede expresarse con distintos valores para su argumento, dado que infinitos ángulos distintos determinan la posición del mismo afijo.
 

 

5.- Comprueba que si partimos de un punto del plano complejo que represente a z y damos una o varias vueltas en torno al origen regresamos al mismo punto de partida pero con argumento distinto del inicial. (Utiliza las flechas o directamente escribe el ángulo deseado en la casilla del argumento)

6.- Obtén una relación entre todos los argumentos que determinan a un mismo número complejo.

IV Relación entre las coordenadas polares y las coordenadas binómicas de un número complejo z.

Si representamos el afijo del complejo z y dibujamos los elementos que determinan su forma tanto polar como binómica obtenemos las siguientes relaciones:

 
 
7.- Comprueba que el argumento del número complejo z se obtiene como el arco cuya tangente es el cociente de b entre a, para aquellos puntos cuya primera coordenada no sea 0. ¿Cuál es el argumento de los números complejos con parte real 0?. Calcula los argumentos de los  números complejos 3+3i y -3-3i. ¿Qué relación hay entre sus argumentos, las tangentes y sus partes reales e imaginarias?. Determina una condición suplementaria para eliminar la ambiguedad del valor de la tangente.

8.- Demuestra analíticamente las fórmulas encontradas.

9.- Determina una fórmula parecida a la que disponemos para hallar el argumento, basada o bien en la razón trigonométrica seno o bien en el coseno.

10.- Demuestra, basándote en argumentos trigonométricos las siguientes relaciones que nos permiten pasar de forma polar a binómica:

11.- Escribe cada número complejo en forme binómica y polar:
    a) z1 = (7)45º        (b) z2 = cos(30º)-isen(30º)         (c) z3 = 3i        (d) z4 = (4)30º        (e) z5 = 1+i

12.- Describe dónde se localizan en el plano complejo todos los números complejos que tienen:
    a) Parte real igual a 1
    b) Parte imaginaria igual a -4
    c) Módulo igual a 3
    d) Argumento igual a 150º


 
V Conjugado y Opuesto de un número complejo  z

Dado un número complejo z=a+bi se definen el número complejo opuesto de z como -z=-a-bi y el número complejo conjugado de z como  z*=a-bi.

 
 

13.- Determina cuáles son las relaciones, en forma polar, entre un número complejo, su opuesto y su conjugado.

14.- Observa la relación geométrica entre los afijos de un número complejo, su conjugado y su opuesto. Deduce qué tipo de simetrías se producen en cada caso.

 
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Siguiendo la validez de las reglas generales que gobiernan el cálculo en matemáticas, se pueden definir las operaciones tradicionales entre los números complejos. Estas operaciones se van a corresponder con diferentes transformaciones geométricas en el plano y nos pueden servir de ayuda a la hora de trabajar con éstas últimas.

SUMA    PRODUCTO    DIVISIÓN    POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
 
Autor: Enrique Martínez Arcos
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