OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
 
Cociente de números complejos

I Inverso de un número complejo

Por definición el inverso de un número complejo z es otro número complejo que se representa por 1/z y que tiene la propiedad de que multiplicado por el primero el resultado es igual a 1+0i=1.

1.- Teniendo en cuenta la definición, deduce quién será el inverso de un número complejo z=(r )a expresado en forma polar

2.- ¿Todos los números complejos tienen inverso?. (Reflexiona qué ocurre en el caso real)

3.- Aventura cuál será el procedimiento para calcular el inverso de un número complejo expresado en forma binómica.(Si no encuentras el camino, las actividades que vienen a continuación pueden arrojar luz sobre la cuestión)

4.- Determina las analogías y diferencias entre el inverso y el conjugado del mismo número complejo. ¿En qué casos el inverso y conjugado coinciden?


Ya sabemos que al multiplicar un número complejo z por su conjugado el resultado es un número real y que además coincide con el cuadrado del módulo de z. Nuestro objetivo es localizar un número complejo que multiplicado por z nos de 1.

5.- ¿Qué tendremos que hacer para que el resultado de la operación z´z*sea 1?.

6.- Deduce que para hallar el inverso de un número complejo z basta con multiplicar primero por su conjugado y el resultado multiplicarlo a su vez por el inverso del cuadrado del módulo de z.

7.- Calcula el inverso de los siguientes números complejos:

      a) (5)135       b) 4-3i       c) 7

8.- ¿Qué resultado obtenemos si al cociente 1/(a+bi) se le multiplica y divide por el conjugado del denominador (a-bi)?



II  División entre dos números complejos.

Toda división entre dos números complejos z2 y z1 se puede reducir al producto de z2 por el inverso de z1.

9.- Observa las relaciones que hay entre los módulos y argumentos de los números complejos z1 , z2 y z2/z1 . Determina una fórmula para realizar la división entre dos números complejos dados en forma polar. ( Puedes modificar la posición de z1 y z2 arrastrando sus afijos).

10.- Observa las relaciones que hay entre los módulos y argumentos de los números complejos z2 , 1/z1 z2/z1 . Comprueba la coherencia de la definición con la fórmula obtenida en el ejercicio anterior

11.- Determina un procedimiento para calcular el cociente de dos números complejos expresados en forma binómica.

12.- Al igual que en la actividad 8 observa el resultado de multiplicar y dividir al cociente (a+bi)/(c+di) por el conjugado del denominador (c-di). Qué analogías hay entre esta situación y el método hallado en el ejercicio anterior?.

13.- Halla el resultado de las siguientes operaciones:

a) (4)180/(2)180 b) (4-3i)/(3-i) c) 2i/(-1-i) d) 5/(2i)

14.- Calcula el valor de b para que la división (3+bi)/(2-i) sea un número complejo:

a) imaginario puro b) cuyo afijo esté en la bisectriz del primer cuadrante.

15.- Resuelve la siguiente ecuación z/(2+i)=9+2i


III Interpretación geométrica del cociente de dos números complejos

Puesto que una división puede reducirse a un producto, de igual forma las transformaciones geométricas, que sobre los afijos de los números complejos, produce una división son análogas a las realizadas por la multiplicación.

16.- Traslada la situación del cociente al de un producto y deduce cuál será la transformación de la figura verde.(Puedes mover la figura arrastrando el punto amarillo z)


 


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Autor: Enrique Martínez Arcos

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