I Potencia de un número complejo
La potencia de un número complejo z con exponente natural es el producto de z consigo mismo tantas veces como indica el exponente.
1.- Obtén, basándote en la definición del producto de números complejos, cuáles son las fórmulas que rigen la potencia de un número complejo z expresado en forma polar.
Si el exponente es un entero negativo la potencia (z)-n
se convierte en la potencia (1/z)n
2.- Determina el procedimiento para calcular la potencia de un número
complejo elevado a un exponente entero.
3.- Observa el recorrido que describen los afijos correspondientes a las
sucesivas potencias de un determinado número complejo. Diferencia los casos de exponente positivo
y negativo y cuando el módulo de z sea mayor, menor o igual que uno.
4.- Calcula las 10 primeras potencias de i. Compara tus resultados con los aventurados
en la actividad 11 del producto de complejos.
5.- Dado z=1+i, calcula y representa z, z2, z3, etc.
Un número complejo a es una raíz n-ésima de un
número complejo z si an=z.
En este sentido todo número complejo distinto de 0 tiene n raíces
n-ésimas distintas.
II Radicación de un número complejo.
6.- Si z=(16)120 observa cuáles son sus raíces cuadradas, cúbicas, cuartas, etc.
7.- Parte de una raíz n-ésima (cuarta, por ejemplo) a y observa cuál es el resultado de elevarla a n (en nuestro caso 4). Iguálalo a z y obtén un procedimiento para calcular todas la raíces n-ésimas de un número complejo dado en forma polar.
8.- Observa la disposición geométrica de los afijos de las n raíces n-ésimas de un número complejo. Demuestra que si unimos estos puntos tendremos un poligono regular de n lados inscrito en una circunferencia.(Como sugerencia fíjate en los triángulos que forman los lados del polígono con los módulos de los afijos)
9.- Resuelve la ecuación z3+3=0
10.- Calcula:
a) Las raíces octavas de 6561
b) Las raíces quintas de la unidad
c) Las raíces cúbicas de -i.
11.- Calcula las raíces cuartas de 16. Compara los resultados si las buscas en los números reales o en los números complejos.
12.- Resuelve la ecuación bicuadrada: z4
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