Las cónicas con regla y compás
Motivación.
Hay un consenso bastante amplio entre los profesores de matemáticas de enseñanzas medias sobre la escasa preparación geométrica de los alumnos en esta etapa.
No es este el sitio ni el momento para discutir a fondo las causas pero no es ajeno a ello el abandono de la llamada Geometría Sintética que ha sido sustituida por la Geometría Analítica. Como toda opción esta sustitución tiene ventajas e inconvenientes.
Nadie puede negar la tremenda potencia que posee la Geometría Analítica, pero, para la mayoría de temas (de Geometría no de Cálculo) tratados en esta etapa no es necesaria y entre los inconvenientes quiero señalar dos clarísimos.
De una parte retrasa la edad en la que se puede abordar y de otra abandona recursos genuinamente geométricos como el dibujo, la observación o la intuición.
El caso de las cónicas es muy expresivo para ejemplificar las observaciones anteriores. La definición para cada cónica como el lugar geométrico de los puntos que cumplen determinada propiedad seguida de su ecuación y gráfica supone, en primer lugar, perder el carácter unitario de las cónicas y en segundo, cuestiones elementales e intuitivas como el trazado de tangentes requieren la derivada que no tiene nada ni de elemental ni de intuitivo y retrasa el estudio hasta edades más avanzadas.
Reservemos la Geometría Analítica para otras cuestiones en las que presenta grandes ventajas y desarrolla toda su potencia en combinación con el Cálculo Infinitesimal.
Avalan estas afirmaciones razones históricas, en efecto, cuando se desarrolla la Geometría Analítica (S XVII) y se consolida el Cálculo Infinitesimal (S XVII-XVIII) Apolonio de Perga había elaborado un completísimo estudio de las cónicas que no fue superado hasta Pascal unos 2.000 años después.
Objetivos.
Estudio de las cónicas (elipse hipérbola y parábola) con argumentos puramente geométricos elementales.
Trataremos la generación de las cónicas, propiedades fundamentales y trazado de tangentes y normales usando sólo rudimentos de geometría elemental tales como propiedades de la mediatriz, semejanza de triángulos y poco más.
Por todo ello en los applets que se presentan prescindimos sistemáticamente de los ejes de coordenadas, simplemente no hacen falta. Intentaremos emular una hoja de papel en la que podemos hacer dibujos con regla y compás.
Otros ejemplos