Tangente y normal en un punto de la elipse

Consideramos una elipse de focos G y F, y constante 2a, según hemos visto en la generación, la tangente es la mediatriz del segmento PF siendo P el punto de la circunferencia focal asociado al punto de tangencia. El conocimiento de P determina de modo inmediato el de la tangente.

Si Q es un punto de la elipse basta trazar la recta definida por los puntos G, Q y elegir la intersección P de esta recta con la circunferencia focal que deja Q entre G y P. La mediatriz de FP es la tangente buscada.

En el applet puede mover Q sobre la elipse variando el parámetro fi de 5 en 5 grados.

La normal en Q es la recta que pasa por Q perpendicular a la tangente en la escena está en color verde. La propiedad elemental de la bisectriz exterior de un triángulo se enuncia ahora como:

"La normal a una elipse en Q es la bisectriz del ángulo GQF"

Tangentes a la elipse por un punto cualquiera

Tomemos ahora un punto cualquiera M del plano (en principio exterior a la elipse). Vamos a determinar las dos tangentes a la elipse pasando por M.

Basta que tracemos la circunferencia de centro M y radio MF (en gris). Las intersecciones (dos máximo) con la circunferencia focal (en azul) son los puntos P y Q que permiten trazar las tangentes como mediatrices de PF y QF.

M puede moverse por arrastre o bien mediante sus controles M.x, M.y. Observa que si M es exterior a la elipse hay dos intersecciones y dos tangentes, si M está sobre la elipse solo hay una intersección y una tangente y si M es interior no existen intersecciones ni tangentes.

En este applet se ha limitado la variación de c para que siempre tengamos una elipse.

No se han dibujado los puntos de tangencia para evitar ralentizar demasiado la actualización de la figura.