Vamos a ver cómo se determinan las tangentes a una cónica paralelas a una dirección conocida.

Mostraremos una escena para cada una de las tres cónicas aunque la construcción es la misma:

La dirección la controlaremos mediante una circunferencia auxiliar en la que vamos variando un punto P sobre ella con su correspondiente botón "fi" que mide el ángulo en sentido trigonométrico ordinario.

Elipse.

El razonamiento es muy claro. La tangente es la mediatriz del segmento que une el foco F con el punto de la circunferencia focal asociado al de tangencia, por tanto, este segmento ha de ser perpendicular a la dirección dada y sabiendo que pasa por F está determinado. La construcción es:

1.- Se traza la recta que pasa por F y es perpendicular a la dirección definida por P (en color rojo).

2.- Las intersecciones de esta recta con la circunferencia focal definen los puntos R y Q.

3.- Las mediatrices de FR y FQ son las tangentes buscadas.

Los puntos M y N son los medios de FR y FQ respectivamente.

Recuerda que si varías el valor de c debes limpiar para regenerar la gráfica.

No se han dibujado los puntos de tangencia para no cargar la figura.

Puedes observar que para cualquier posición de P existen siempre dos tangentes paralelas a la dirección definida por P ya que F es interior a la circunferencia focal y cualquier recta que pase por F corta a la circunferencia en dos puntos.

Hipérbola.

La construcción es idéntica a la del caso anterior. La diferencia está en el número de soluciones.

Como F es exterior a la circunferencia focal, no todas las rectas que pasan por F cortan a la circunferencia.

La dirección que marca la transición de las rectas que cortan y que no cortan la marca las asíntotas (recuerda cómo se construían).

En resumen:

Si la recta de color rojo perpendicular a la dirección dada por P corta en dos puntos a la circunferencia focal hay dos tangentes cuyos puntos de contacto están uno en cada rama.

Si la recta es tangente a la circunferencia focal hay una única tangente paralela a la dirección dada con punto de tangencia en el infinito, se trata de la asíntota.

Si la recta no corta a la circunferencia focal no hay tangentes paralelas a la dirección dada.

En la circunferencia auxiliar que fija la dirección se han dibujado en rojo las direcciones de las asíntotas.

Parábola.

La construcción es análoga a las anteriores sustituyendo la circunferencia focal por la directriz.

Como dos rectas se cortan como máximo en un punto (Q), para cada dirección dada existe sólo hay una tangente paralela. excepto cuando fi vale 90º o 270º ya que entonces la recta FQ es paralela a la directriz y no hay intersección (la supuesta tangente debería ser vertical).