TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA

Continuamos con el ejemplo anterior. Una bola es lanzada desde el suelo verticalmente y hacia arriba. La función altura-tiempo es y=f(t)=50t - 5t²

Recordemos que podíamos calcular la altura en cualquier instante pero no podíamos tener información precisa de como está variando la altura en un instante determinado, por ejemplo, en t₀=2 segundos. Este dato se denomina variación instantánea.

Para obtener esta información vamos a estudiar cómo varía la altura en intervalos que empiezan en t₀=2 y tiene amplitudes h cada vez más pequeños. Es decir calculemos las tasas de variación media en los intervalos sucesivos [t₀,t₀+h] tal que h tienda a 0.

Consideremos el intervalo [2,5] con una anchura h=3 segundos 

Has podido observar en la gráfica que las distintas tasas de variación media son las pendientes de la recta secante a la curva por los puntos P(2,f(2)), Q(2+h,f(2+h)) y que cuando h tiende a cero el punto Q se desplaza sobre la gráfica hasta confundirse con el punto P a la vez que las sucesivas rectas secantes por P y Q tienden hacia la recta tangente a la gráfica en el punto P.

Geométricamente, la TVM es la pendiente de la secante por P y Q y por tanto la variación instantánea en P será como caso límite la pendiente de la recta tangente en P.

La variación instantánea en t=2 se representa por f ' (2) y se conoce como la derivada de la función f(t) en t=2

La expresión analítica de la derivada en el punto t=2 

Viene dada por el valor del siguiente límite:

Pasemos al intervalo [2,4] con una anchura h=2

La sucesión de las TVM tiene como límite la variación instantánea en t₀=2 segundos cuyo valor es

f ' (2)=30 m/s

Dada una función y=f(x) y un punto de abcisa x=a, se define la derivada de f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe,

Si expresamos el valor variable a+h = x, tenemos que h= x-a de tal manera que cuando h®0 se cumplirá que x®a.

La derivada en x=a también puede ser expresada de la siguiente manera

y representa desde le punto de vista geométrico la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de abcisa x=a

Si una recta tiene un ángulo de inclinación a decimos que su pendiente es m = tg(a).

La forma explicita de la ecuación de una recta es y = mx + n. Si (x₀,y₀) es un punto de dicha recta se cumplirá y₀=mx₀+n y restando estas dos expresiones se obtiene y-y₀=m(x-x₀) es decir

y=m(x-x₀)+y₀

Sea y=f(x) una cierta función que admita una recta tangente en el punto P(a, f(a)). Este punto también pertenecerá a la recta tangente a la curva y=f(x) y la pendiente de la recta es m = f '(a).

Es decir tenemos un punto de la recta x₀=a, y₀=f(a) y conocemos su pendiente, luego la ecuación de la recta tangente a y=f(x) en x=a es

y=f '(a)(x-a)+f(a)

1.- En el ejemplo de la figura anterior, calcula las siguientes derivadas: f ' (-2), f ' (-1), f ' (0), f '(2.5). Anota los resultados en tu cuaderno

2.- Comprueba que en los puntos donde la función crece la derivada es positiva, en los puntos donde la función decrece la derivada es negativa.

3.- ¿Dónde el crecimiento es mas rápido  en x= -2 ó en x = -1.5?¿Dónde  es más lento el decrecimiento en x=0.5 ó en x=1.5?

4.- ¿Qué debe de ocurrir en los puntos donde hay un máximo o un mínimo local?

5.- Observa la recta tangente en distintos puntos y comprueba que la ecuación de la recta es la que hemos deducido anteriormente.

Recuerda que en la unidad didáctica que hace referencia al estudio del crecimiento de una función se decía

Función creciente en x=a. 

Se dice que y = f(x) es creciente en un punto x=a de su dominio si existe un entorno de dicho punto,  (a-h,a+h) tal que si x pertenece a este entorno y x£a entonces f(x)£f(a) y si x³a entonces f(x)³f(a). 

Por tanto resulta que en ambas situaciones el signo de (x-a) es igual al signo de f(x)-f(a), para cualquier x perteneciente al entorno de a; consecuentemente la tasa de variación media TVA[a,x] es positiva y su límite cuando x® a también, es decir f ' (a) >0. Recíprocamente también es cierto que si f ' (a) >0 entonces TVM[a,x] >0 y la función es creciente en x=a.

f (x) es creciente en x=a equivale a f ' (a) > 0

Función decreciente en x=a

Se dice que y = f(x) es decreciente en un punto x=a de su dominio si existe un entorno de dicho punto, (a-h,a+h) tal que si x está en este entorno y x£a entonces f(x)³f(a) y si x³a entonces f(x)£f(a).

En ambas situaciones se cumple que el signo de (x-a) es distinto que el signo de f(x)-f(a), para cualquier x perteneciente al entorno de a; consecuentemente la tasa de variación media TVA[a,x] es negativa y su límite cuando x® a también, es decir f ' (a)<0. La proposición recíproca es también cierta, si f ' (a) > 0 entonces la función es decreciente en x=a.

f(x) es decreciente en x=a equivale a f ' (a) < 0

Sea la función y=f(x) = x² -2x -1. Queremos calcular la derivada en el punto de abcisa x=2.

La ordenada correspondiente es  f(2) = -1

Veamos el procedimiento a seguir:

Sigamos con otro ejemplo y calculemos para la función anterior la derivada en x = 0.5

La ordenada para x = 0.5 es f(0.5)= -1.75

Comprueba en la siguiente escena estos resultados:

1.- En la escena actual, observa el valor de f(3).

2.- Observa el valor de la derivada f '(3). Realiza el procedimiento aprendido para calcular f '(3) y comprueba el resultado.

3.- Calcula la ecuación recta tangente a la curva en x=3 y comprueba el resultado con el de la escena correspondiente.

4.- Calcula el intervalo de crecimiento y el intervalo de decrecimiento de la función.

5.- ¿Determina el punto donde f ' (a) = 0? ¿Cómo se llama este punto?

6.- Hallar el valor de a perteneciente al intervalo [-1,1] para el que se cumple que la tasa de variación media TVM[-1,1] coincide con la tasa de variación instantánea  f ´(a)

Estudiaste el concepto de función continua en un punto. Hagamos memoria:

Una función y=f(x) es continua en x=a si y solo si f(a+h)-f(a) ® 0 cuando h ® 0. En otros términos, a variaciones muy pequeñas de la x en torno de a le corresponde variaciones muy pequeñas de f(x) en torno de f(a).

Designando x=a+h, tenemos que h=x-a y se cumple que el "límite de la función es el valor de la función en el límite"

Esta definición obliga a las siguientes cosas:

a) Que la función este definida en x=a, ya que ha de existir f(a)

b) Que exista el límite de f(x) cuando x®a. Es decir el límite por la derecha y por la izquierda de a han de coincidir:

c) f(a) = L

Si alguna de estas cosas no se cumple la función es discontinua en a.

La derivabilidad de f(x) en x=a es una condición analítica más fuerte que la continuidad, puesto que

Si  una función es derivable en x = a, entonces la función es  continua en x=a

Una función puede ser continua en un punto y no tiene por qué ser derivable.

Demostremos esto:

Supongamos y=f(x) derivable en x=a y veamos que pasa con la continuidad en x=a:

por lo que y=f(x) es continua en x=a, pues

El siguiente ejemplo pone de manifiesto lo que hemos dicho arriba.

Tiene una discontinuidad por salto finito en x= -1 y puesto que no tiene tangente en x= -1 no es derivable en x = -1.

Tiene un punto anguloso en x =2 y aunque es continua en él, la tangente por la derecha tiene distinta pendiente que la tangente por la izquierda; luego no es derivable en x=2

f ´(2-) = -1.26 <> f ´(2+) = 1.26

Resumiendo:

El siguiente programa permite definir funciones y=f(x) en dos trozos (-inf,x₀) y [x₀,+inf) en el primero la función viene dada por la expresión f1(x)=ax²+bx+c y en el segundo f2(x)=a´x²+b´x+c´, donde los coeficientes a, b, c, a´, b´ y c´ pueden ser elegidos a voluntad. El problema consiste en ajustar dichos coeficientes para que la función sea continua o derivable en x₀, según los ejemplos que se quieran estudiar.

Es decir la función se define así:

Como se puede apreciar la función f(x) es discontinua por salto en x=0. Se le propone al estudiante que modifique los parámetros de f2(x) para que la función sea continua, pero no derivable en x=0. En este caso se deberá cumplir que el límite por la izquierda en x=0  coincide con el límite por la derecha en x=0, es decir f1(0-)=f2(0+)=1, pero la derivada por la izquierda f1´(0-) <> f2´(0+).

Ahora se trata de hacer derivable la función cuando se cumpla que f1´(0-)=f2´(0+). Modificar los coeficientes para conseguirlo. Observar que puede haber varias soluciones.

Anotar en el cuaderno la definición de f(x) para que sea derivable en x=0 en 4 casos al menos.

2: Sea la función

Ajustar los coeficientes c y b´ para que la función sea continua y derivable en x=1

En este caso la solución es única.

El programa Descartes permite hallar c y b´ mediante ensayo y error y requiere tener un poco de paciencia hasta que el estudiante adquiera destreza sobre todo averiguando como varía la forma de función al modificar los coeficientes.

El método algebraico-analítico va directo a la solución. Intente el alumno  encontrar la solución antes de ver el siguiente cálculo.

Solución:

Para que la función sea continua en x=1 se debe satisfacer f1(1-)=f2(1+), sustituyendo en f1(x) y f2(x) para x=1 e igualando se obtiene la ecuación 3 + c = b´.

Para que la función sea derivable en x=1 se debe satisfacer f1´(1-)=f2´(1+), es decir hay que calcular las derivadas f1´(1-) y f2´(1+) e igualar.

f1´(x)=4x +1, f2´(x)=2x+b´, por tanto 4 + 1 = 2 + b´, de donde b´ = 3 y sustituyendo en la anterior ecuación entre c y b´ obtenemos  3 + c = 3 y por tanto  c = 0.

 3: Determinar los parámetros c y b´ para que la función sea continua y derivable en x=2

El alumno deberá resolver este ejercicio utilizando el método de ensayo-error que proporciona el programa y luego calculará los coeficientes con el método algebraico-analítico, como se hizo en el ejercicio anterior comprobando las soluciones.

4: Hallar los coeficientes b y c´ para que la función f(x) sea derivable en x=- 2. Primero resuélvase mediante el programa Descartes y a continuación mediante el método algebraico-analítico.