I La función integral.
Observa la siguiente escena. Para cada valor de x perteneciente
al intervalo [a,b], se puede calcular el área del recinto limitado
por la gráfica de la función y=f(x) y el eje de abscisas
entre a y x
| Dada la función
f(x)=(x2/4)+1, en el intervalo [0,4.5], la escena de la izquierda
representa el área comprendida bajo su gráfica y el eje de
abscisas entre el extremo fijo a y x, para valores distintos de x.
En la escena de la derecha se representa el área en función del valor x que elijamos. |
De esta forma, dada una función y=f(x) podemos construir otra nueva función, de manera que para cada valor de x represente el área del recinto definido anteriormente . A esta nueva función la vamos a designar por F(x).
1.- ¿Qué valor tendrá F(a)?. ¿En
qué condiciones la siguiente igualdad será cierta 
?
2.- ¿Qué valor tendrá F(b)?
3.- Deduce que para cualquier función integrable y=f(x) se puede definir otra nueva función F(x), de manera que represente la integral definida entre a y x de la función f. A esta función la llamaremos función integral.
4.- ¿Qué valores tomará la función integral en a?. ¿Será positiva siempre?
II La derivada de la función integral.
Si consideramos un trozo del recinto naranja entre los
valores x y x+h, su área la podemos aproximar mediante rectángulos
por defecto (en el caso rojo rayado) y por exceso (turquesa)
5.- Observa que existe una relación de orden entre las áreas de las tres zonas. Calcula la fórmula del área de cada una de ellas.
6.- Deduce la siguiente relación 
7.- En el caso que f no fuese monótona creciente ¿Qué valores de x deberíamos haber tomado para obtener las aproximaciones por exceso y defecto?
8.- ¿Qué relación equivalente a la del ejercicio 6 hubiéramos obtenido si f no fuese monótona?
9.- ¿Y qué ocurriría si h fuese negativo?. Remplantéate los ejercicios 5 y 6.
10.- Observa qué es lo que ocurre cuando se hace tender h hacia 0.
11.- Demuestra la siguiente relación. 
.
¿Qué propiedad sobre f, has necesitado utilizar?
12.- Concluye que la derivada de la función integral es la propia f.
13.- Generaliza el resultado para cualquier función
f. Dicho resultado es conocido como el teorema fundamental del cálculo
integral
| Si f es una función continua en [a,b], entonces la derivada de la función integral de f es la propia f |
El teorema fundamental del cálculo integral se puede enunciar de una forma equivalente: La función integral es una primitiva de f
III La regla de Barrow.
Hemos comprobado cómo la función integral es una primitiva de f. Pero a estas alturas tu ya sabes cómo calcular otra primitiva G de f
14.- ¿Qué relación habrá entre la primitiva que tu calculas y F(x)?. Escribe tu primitiva en la ecuación naranja de la escena. Observa la relación que hay entre las dos funciones. ¿Era lo que esperabas?.
15.- Deduce de la relación que existe entre F(x) y G(x), la fórmula que permite calcular los valores de F(x) a partir de los de G(x). Equivalentemente calcula la constante que las diferencia. (Indicación: Fíjate en los valores de ambas funciones en x=a).
16.- Recuerda que nuestro objetivo era calcular el valor de la integral definida entre entre a y b, o dicho de otro modo el valor de F(b). Utiliza los resultados obtenidos en los dos ejercicios anteriores.
17.- Generaliza el proceso para cualquier otro valor de b
El resultado que acabas de obtener se llama regla de Barrow
y es una forma práctica de calcular el área de trapecios
mixtilíneos utilizando el cálculo integral.
| Si f es una función continua en [a,b], G una primitiva de f entonces la integral definida de f entre a y b es igual al valor de G(b)-G(a) |
| 12.- Calcula el área bajo la recta y=1 entre
x=-2 y x=-1
13.- Calcula el área bajo la recta y=-x+4 entre a=0 y b=3 14.- Calcula el área bajo la curva y=x2 entre a=-1 y b=3 15.- Calcula el área bajo la curva y=cos(x) entre a=0 y b=p En la escena puedes representar las funciones, cambiando la fórmula verde, y los límites de integración con los parámetros a y b. Esto te permitirá tener una imagen de cada situación. |
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | ||