La enseñanza de las matemáticas y las nuevas tecnologías

Desde que los institutos públicos españoles comenzaron a disponer de los primeros ordenadores en el aula, hace más de veinticinco años, hasta hoy, ha tenido lugar una profunda transformación de todos los protagonistas de lo que se conoce como tecnologías de la información y la comunicación (TIC) aplicadas a la enseñanza. Han evolucionado las máquinas, el modo en que acceden y presentan la información, su aspecto externo, su tamaño, su peso, su portabilidad, su precio, etc. Paralelamente, ha cambiado el perfil de los usuarios de dichas máquinas (hay más, y más experimentados y motivados, especialmente entre los jóvenes, que han crecido con Internet, el teléfono móvil y el ordenador portátil) y, como no, la actitud de las propias instituciones educativas con respecto al papel que las TIC deben jugar en la formación de los estudiantes, en todos los niveles de la educación, situándose en el centro de las políticas públicas educativas en los países occidentales, en Europa y, más en particular, en España.

El aprendizaje basado en competencias actualmente vigente en España estipula que una de las competencias básicas que el alumno debe adquirir con la educación obligatoria es la denominada competencia digital (y de tratamiento de la información), que se define como consistente en “utilizar las tecnologías de la información y la comunicación extrayendo su máximo rendimiento a partir de la comprensión de la naturaleza y modo de operar de los sistemas tecnológicos, y del efecto que esos cambios tienen en el mundo personal y sociolaboral. Asimismo supone manejar estrategias para identificar y resolver los problemas habituales de software y hardware que vayan surgiendo. Igualmente permite aprovechar la información que proporcionan y analizarla de forma crítica mediante el trabajo personal autónomo y el trabajo colaborativo, tanto en su vertiente sincrónica como diacrónica, conociendo y relacionándose con entornos físicos y sociales cada vez más amplios. Además de utilizarlas como herramienta para organizar la información, procesarla y orientarla para conseguir objetivos y fines de aprendizaje, trabajo y ocio previamente establecidos.

En definitiva, la competencia digital comporta hacer uso habitual de los recursos tecnológicos disponibles para resolver problemas reales de modo eficiente. Al mismo tiempo, posibilita evaluar y seleccionar nuevas fuentes de información e innovaciones tecnológicas a medida que van apareciendo, en función de su utilidad para acometer tareas u objetivos específicos. [...]” (Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Enseñanza Secundaria Obligatoria).

Los nativos digitales que habitan las escuelas de hoy cumplen con creces una buena parte de los múltiples objetivos que implica la definición precedente (por ejemplo, la correspondiente a la actualización de sus conocimientos técnicos), y el verdadero reto para la institución educativa está entonces en orientar el buen uso de las TIC que el alumno ya utiliza, además de asimilar en sus programas adecuadamente todas las potencialidades que tiene a su alcance.

La competencia matemática es, también, una de las ocho competencias básicas que marca la ley. Matemáticas y TIC han tenido, mucho antes de que los ordenadores llegasen a las escuelas de enseñanza media, una relación sumamente estrecha. Básicamente, puede resumirse en una frase: los ordenadores se convirtieron, en un primer momento, en el laboratorio del que carecía el matemático profesional, en las más insospechadas ramas (en el Análisis, en la Geometría, ¿quién lo iba a decir?); y, en una segunda fase, en un medio para distribuir la información, como ocurrió en casi todos los ámbitos científicos.

Esto es posible gracias a que el ordenador permite llevar a cabo dos funciones que la investigación matemática utiliza como cualquier otra ciencia, en un tiempo que antes de su aparición era impracticable: la autoevaluación de conjeturas y la experimentación. Estas dos funciones, autoevaluación y experimación, son comunes a la práctica investigadora y al aprendizaje de las matemáticas (al fin y al cabo, ¿qué es un estudiante de matemáticas sino un matemático investigando, eso sí, lo que ya ha sido descubierto?).

Cuando el alumno utiliza el ordenador para realizar los cálculos precisos, pero mucho más ágilmente y con mucha más fiabilidad que si los realizase con papel y lápiz, podemos decir que estamos usándolo como calculadora, y viene al caso el excelente artículo The Algebraic Calculator as a Pedagogical Tool for Teaching Mathematics, del profesor Berhard Kutzler, en el que presenta la “espiral de creatividad de Buchberger”, y que describe así:

“Applying known algorithms produces examples. From the examples, we obtain properties, which are expressed as a conjecture. Proving the conjecture yields a theorem, i.e., guaranteed knowledge. The theorem’s algorithmically usable knowledge is implemented in a new algorithm.  Then, algorithm is applied to new data, yielding new examples, which lead to new observations, … “ [KUTZLER].

Esta es la vieja teoría didáctica de Ives Chevallard virtuosamente emparejada con el uso de las calculadoras (u ordenadores utilizados como calculadoras). En el fondo, lo que se propone es el uso de la calculadora como herramienta que permita abstraer la parte interesante del quehacer matemático (establecimiento de conjeturas, análisis de resultados y prueba de teoremas) de la rutinaria, que puede ser encargada a la calculadora. En el ámbito escolar, pues, la espiral de Buchberger equivale a un andamiaje (scaffolding en inglés), que es “any pedagogically justified sequence of using an not using technology for trivialization, experimentation, visualization or concentration either in the sense of automation or compensation” [KUTZLER]; es decir, se trata de ofrecer al alumno una calculadora que le permita experimentar, concentrar su esfuerzo en las tareas importantes de lo que se traiga entre manos, trivializando tareas secundarias, y visualizar en el acto sus propias intuiciones, todo ello en los momentos adecuados.

Por supuesto, el uso de calculadoras debe ser limitado (no debe sustituir la habilidad del alumno para realizar los mismos cálculos sin el soporte informático) y coherente (si se usa cotidianamente en el aula, habría que plantearse su uso en los momentos de evaluación).

Consideramos que una calculadora que permita representar los problemas clásicos de la programación lineal es, por todo lo comentado, sumamente interesante.