Ecuación canónica de la hipérbola

 

          Para obtener la ecuación canónica o ecuación reducida de la hipérbola situemos un sistema de coordenadas cartesianas con centro el punto medio del segmento focal FF¢ y eje de abscisas pasando por los focos. Entonces la coordenadas de los focos en este sistema de referencia son F (c, 0)  y  F¢ (– c, 0).

            Sea P (x, y) un punto cualquiera del plano. Por definición de hipérbola, la igualdad [1] es una condición necesaria y suficiente para que el punto P (x, y) esté situado sobre la hipérbola. La fórmula de la distancia entre dos puntos nos proporciona las longitudes de los radios vectores del punto P, 

[2]

 De [1] y [2] se sigue la relación 

[3]

 Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad [3], después de simplificar los términos semejantes se llega a una igualdad con un único radical. Transponiendo este radical y elevando de nuevo al cuadrado los dos miembros de la igualdad obtenida se llega a la igualdad

 Como c > a, entonces c² – a² es positivo y haciendo b² = c² – a² se obtiene la ecuación de la hipérbola con centro el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas:

 

[4]

                 Debemos asegurarnos que la ecuación [4] deducida de [3] por transformaciones algebraicas no contiene raíces extrañas. Para ello será suficiente demostrar que los radios vectores PF y PF¢ de todo punto P (x, y) cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación [4] verifican la relación [1].

            Despejando y² en [4] y sustituyendo en [2], después de unos sencillos cálculos, se obtiene 

 entonces el punto P considerado pertenece a la hipérbola ya que que | PF – PF¢ | = 2 a.

           Como la ecuación [4] sólo contiene potencias pares de las variables x e y, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas, y con respecto al origen. El punto O es el centro de la hipérbola.

            Si trasladamos los ejes paralelamente de forma que el origen sea el punto O¢(h, k) resulta que la ecuación de la hipérbola referida a estos ejes, es según hemos demostrado antes

 Como las ecuaciones de la translación son

la ecuación de la hipérbola es

 
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 El siguiente applet permite trazar una hipérbola de ejes paralelos a los ejes de coordenadas con semidistancia focal c y semieje mayor afijos. Para ello debemos realizar los pasos que se señalan a continuación:

Mover el punto O¢ utilizando los botones que aparecen en la parte inferior de la ventana. También se puede colocar el puntero de ratón sobre O¢, pulsar el botón principal del ratón y, sin soltarlo, trasladar el punto a una nueva posición. Al soltar el botón del ratón, el punto O¢ se sitúa en las coordenadas elegidas.

Pulsar el botón limpiar para eliminar el rastro dejado por el punto O¢ en la translación.

El punto Q está asociado al punto P por las ecuaciones de la translación. Al mover el punto  P  éste describe una hipérbola de centro el origen, luego el lugar geométrico del punto Q  también es una hipérbola.

 

 
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 Ejercicios.

1. Trazar las hipérbolas de centros los puntos O¢(–2, 3), O¢(–3, –4), O¢(3, 1) y O¢(4, –3), indicando en cada caso las coordenadas de los focos.
 

2. Escribir las ecuaciones canónicas de las hipérbolas del ejercicio anterior.

 
 
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