Ecuación canónica de una elipse

          Para obtener la ecuación canónica o ecuación reducida de la elipse situemos un sistema de coordenadas cartesianas con origen O en el punto medio del segmento FF¢ y eje de abscisas en la dirección de la recta que une los focos. En este sistema de referencia las coordenadas de los focos son  F(c, 0)  y  F¢ (– c, 0). Si ahora  P (x, y)  es un punto cualquiera de la elipse aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: 

 De [1] y [2] resulta que la relación 

 es una condición necesaria y suficiente para que el punto P (x, y) esté situado en la elipse. Eliminando los radicales después de elevar al cuadrado y simplificar los términos semejantes se llega a la ecuación 

 donde hemos puesto  b² = a² – c².

           Las coordenadas de todo punto P (x, y) de la elipse satisface la ecuación [4] obtenida de la ecuación [3]. Pero como toda transformación algebraica ligada a la eliminación de radicales es susceptible de hacer aparecer raíces extrañas, debemos asegurarnos que todo punto P cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación [4] está sobre la elipse. Para ello es suficiente demostrar que los radios vectores segmentos PF y PF¢ de todo punto P verifican la condición [1]. Supongamos entonces que las coordenadas de un punto P (x, y) satisfacen la ecuación [4]. Despejando y² en [4] y sustituyendo en la expresión [2] de PF, se obtiene, después de unos cuantos cálculos elementales:

y como el radicando es positivo, se concluye que

De forma análoga se establece que

Por lo tanto, para el punto P considerado se tiene que

es decir

y el punto P considerado se encuentra sobre la elipse. La ecuación [4] se denomina ecuación canónica de la elipse.

           Como la ecuación [4] sólo contiene potencias pares de las variables x e y, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas, y con respecto al origen. El punto O es el centro de la elipse.

            Si trasladamos los ejes paralelamente de forma que el origen sea el punto O¢(h, k) resulta que la ecuación de la elipse referida a estos ejes, es según hemos demostrado antes

 Como las ecuaciones de la translación son

 la ecuación de la elipse es

El siguiente applet permite trazar una elipse de ejes paralelos a los ejes de coordenadas con semidistancia focal c y semieje mayor a fijos. Para ello debemos realizar los pasos que se señalan a continuación:

 Ejercicios.

1. Trazar las elipses de centros los puntos de coordenadas O¢(–1, 2), O¢(3, –2), O¢(2, 3) y O¢(–4, –3), indicando en cada caso las coordenadas de los focos.
 

2. Escribir las ecuaciones canónicas de las elipses del ejercicio anterior.