Pendent d'una recta

Geometria

 

2. EL PENDENT D'UNA RECTA

Has pogut veure que l'equació explícita de la recta tenia la forma y = mx + n on m és el pendent de la recta i n és l' ordenada a l'origen



Anem a veure què és el pendent.

2.1. SIGNIFICAT DEL PENDENT D'UNA RECTA. 

El pendent d'una recta és la tangent trigonomètrica de l'angle alfa que forma la recta amb la parte positiva de l'eix d'abscisses (eixX):


És fàcil veure també, que el pendent d'una recta és l'increment de l'ordenada (y), quan l'abscissa (x) s' incrementa en una unitat.

I si tenim una recta de vector director (v1,v2) en forma general ax+by+c=0 aleshores el pendent d'una recta es pot trobar





EXERCICI 1

En aquesta escena pots comprovar les dues coses: 

1.- a) Si canvies el valor de x0, veuràs que en qualsevol punt d'una determinada recta, quan la x s'incrementa una unitat, i passa de x0 a x0+1, la y s'incrementa sempre el mateix, m unitats.Escriu en una taula els valors de tres exemples. 

b) Si canvies el valor de m, la inclinació de la recta també varia? .

c) L'ordenada en l'origen, n, és el valor de y quan x=0, o sigui que la recta talla l'eix Y en el punt (0,n). Pots comprovar-lo variant n en l'escena.



2.- Com pots veure, es forma un triangle rectangle, on el catet oposat a l'angle a, és …..................i l'adjacent val …..................... Per aquesta raó, com la tangent d'aquest angle a coincideix amb ….................. , aleshores diem que el pendent també control·la la direcció de la recta.



EXERCICI 2

1.- En aquesta escena pots canviar el valor del pendent m, de la recta, i s'aniran dibuixant diferents rectes amb diferents pendents. Així veuràs més clar el significat del pendent. 

a) Observa la diferència entre les rectes de pendent positiva, les de pendent negativa, i les de pendent zero. 

b) Clica sobre el botó de netejar i observa la diferència entre m= 0.5, m=2 i m= 8

c) Neteja l’escena i observa ara la diferència entre m= -0.5, m=-2 i m= -8

d) Escriu len el teu full la teva conclusió.

2.- Clica sobre el botó de netejar i canvia el valor de l'ordenada a l'origen n. Digues quina és la diferència hi ha entre rectes de la mateixa pendent amb diferents valors de n.

2.2. TROBAR EL PENDENT D'UNA RECTA SI PARTIM DE DOS DELS SEUS PUNTS

El pendent de la recta que passa per P1(x1,y1) i P2(x2,y2) és:



En aquesta escena pot canviar els punts P1 i P2, i comprovar que el pendent, m, encara és el mateix per una recta determinada. 

També pots canviar el valor de m, trobant rectes amb diferents pendents.

EXERCICI 3

1.- Clica al botó d'inici de l'escena. 

2.- Copia en el teu full les coordenades dels punts P1(x1,y1) i P2(x2,y2)  i aplica la fórmula que hem donat per trobar el pendent, m. 

3.- Comprova el valor de m que t'ha donat, en l'escena. 

4.- Calcula el pendent de la recta que passa pels punts P1(1,2) i P2(4,5). Després introdueix el valor obtingut en l'escena, i a continuació els valors de x1=1 i x2=4, d'aquesta manera comprovaràs els teus càlculs.

5.- Calcula el pendent de la recta que passa pels punts P1(-2,5) i P2(1,-1). Després introdueix el valor obtingut a l'escena, i a continuació els valors de x1=-2 i x2=1, d'aquesta manera comprovaràs els teus càlculs. 



2.3. FORMA PUNT-PENDENT  DE L'EQUACIÓ D'UNA RECTA

Si d'una recta coneixem un punt P(x0,y0) i el seu pendent m, aleshores la seva equació és: 

y -y0 = m(x - x0)

o equivalentment

y =y0 + m(x - x0)



A la següent escena està representada i calculada l'equació de la recta que passa pel punt P(-2,1) i té pendent m = -3/4 = -0.75.

Pots variar les coordenades del punt P i el pendent m, en els botons inferiors, per veure com varia la gràfica de la recta i la seva equació. Aquesta apareix de forma implícita.

EXERCICI 4

1.- Substitueix en l'equació PUNT-PENDENT, les coordenades de P i el valor de m, i calcula l'equació implícita o general de la recta. 

2.- Escriu en el teu full l'equació PUNT-PENDENT de la recta que passa pel punt P(4,3) i té de pendent m=1.8 

3.- Calcula la seva equació implícita o general. 

4.- Comprova-ho a l'escena.

EXERCICI 5 

Troba l'equació d'una recta si coneixes els punts A(-3,1) i B(7,6).

1.-  Partint dels dos punts, primer has de calcular el seu pendent.  

2.- Aplica l'equació PUNT-PENDENT agafant qualsevol dels dos punts coneguts, per exemple A (el resultat final serà el mateix si agafes el punt B). 

3.- Troba l' equació implícita. 

4.- Comprova que agafant el punt B en comptes de l' A, l'equació implícita és la mateixa.

5.- Calcula l' equació de la recta que passa pels punts (-4,5) i (4,2) .

EXERCICI 6 

1.- Calcula l'equació de la recta que passa pels punts (-2,5) i (7,5). Quin és el pendent en aquest cas? Sense fer cap càlcul, quina seria l'equació i la gràfica si els punts són (1,-2) i (5,-2)? 

2.- Ara els punts són (3,8) i (3,-2). En aquest cas sempre val x=3, per tant l'equació de la recta és x=3. És una recta paral·lela a l'eix Y. No té pendent. No es pot posar de forma explícita ja que s'hauria de dividir entre zero. Prova-ho a l'escena.

EXERCICI 7

1.-Escriu les equacions de les rectes representades en aquesta figura.





2.- Per comprovar els resultats, utilitza aquesta escena. En ella apareix dibuixada la recta y = 0, o sigui la que té pendent m=0 i ordenada a l'origen, n=0. 

3.- Quan se li dóna a m i a n els valors obtinguts a la primera recta, aquesta es dibuixarà. Però encara hi serà la recta y=0. 

Si vols borrar-la, clica el botó de netejar  

Si vols borrar-les totes, clica el botó d' INICI.



Quan tinguis les tres dibuixades, mira la figura d'adalt i comprova si tot és correcte.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ángela Núñez Castaín ( adaptada per Maria Rosa Latorre i Sarlé)

 

© Ministerio de Educación. Año 2010

 

 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.