Equacions de la recta |
|
Geometria |
|
|
1. EQUACIONS DE LA RECTA |
||
L’equació d’una recta és una relació entre les coordenades (x,y) de tots els punts de la recta. |
||
|
EXERCICI 1 Considerem un punt conegut P( p1 , p2) de la recta, un vector director v=(v1,v2) i un punt genèric X(x,y) que representa tots els punts de la recta. a) Si a l'escena adjunta anem canviant el valor del paràmetre t i observa els vectors d'origen O, p, p+d, p+2d, p-d, tots ells tenen el seu extrem sobre la recta r ? b) Així, en general, p+td és un vector que, si es situa amb el seu origen en …......... té el seu extrem, X (x,y), sobre la recta …............... i es desplaça sobre ella al variar t. |
|
Una recta r queda determinada vectorialment per
A continuació es mostraran diferents equacions que descriuen la recta. |
||
|
||
1.1. EQUACIÓ VECTORIAL DE LA RECTA |
||
Aquesta que s'ha descrit és l' equació vectorial de la recta:
OX = p+t.d
|
1.2. EQUACIONS PARAMÈTRIQUES DE LA RECTA |
|||||||||||
Si a l' equació vectorial es substitueixen els vectors per les seves coordenades, queda així: (x,y) = (p1,p2) + t (d1,d2) (x,y) = (p1+ t d1, p2 + t d2) Expressant per separat cada coordenada s'obtenen les equacions paramètriques:
|
|||||||||||
|
|||||||||||
1.3. EQUACIÓ CONTÍNUA DE LA RECTA |
|||||||||||
Si aïllem el paràmetre t de les equacions paramètriques
Aleshores l'equació que resulta d'igualar les dues expressions, s'anomena equació contínua de la recta
|
|||||||||||
|
|||||||||||
1.4. EQUACIÓ EXPLÍCITA DE LA RECTA |
|||||||||||
Si partim de l'equació contínua
i podem aïllar la y, obtenim una equació de la forma y = mx + n, que és la denominada equació explícita de la recta, on
|
|||||||||||
EXERCICI 2 |
|||||||||||
a) Parteix de l'expressió de l'equació contínua d'una recta i segueix els diferents passos fins arribar a l'equació explícita de la recta. b) Quin és el valor de la m que has trobat? |
|||||||||||
|
|||||||||||
1.5. EQUACIÓ DE LA RECTA EN FORMA PUNT-PENDENT |
|||||||||||
Si d'una recta coneixem un punt P(x0,y0) i el seu pendent m, aleshores la seva equació és:y - y0 = m(x – x0) |
|||||||||||
EXERCICI 3 A la següent escena està representada i calculada l'equació de la recta que passa pel punt P(-2,1) i té pendent m = -3/4 = -0.75. Pots variar les coordenades del punt P i el pendent m, en els botons inferiors, per veure com varia la gràfica de la recta i la seva equació. Aquesta apareix de forma implícita. |
|||||||||||
EXERCICI 4 1.- Substitueix en l'equació PUNT-PENDENT, les coordenades de P i el valor de m, i calcula l'equació implícita de la recta. 2.- Escriu en el teu full l'equació PUNT-PENDENT de la recta que passa pel punt P(4,3) i té de pendent m=1.8 3.- Calcula la seva equació implícita. 4.- Comprova-lo a l'escena. |
|||||||||||
1.6. EQUACIÓ GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA |
|||||||||||
Si partim de l' equació contínua de la recta i ho escrivim en un membre igualat a zero, arribem a l'equació:
|
|||||||||||
|
|||||||||||
EXEMPLE |
|||||||||||
|
Anem a trobar les equacions vectorials, paramètriques i general de la recta r representada en aquesta escena. Agafem:
|
||||||||||
EXERCICI 5 Troba les equacions paramètriques i la implícita de la recta que passa pels punts A(5,-1) i B(1,4)
|
||
|
EXERCICI 6 1.- Ara escriu en el teu full les equacions paramètriques de la recta que passa pels punts A(5,-1) i B(1,4). 2.- Elimina la t entre les dues equacions paramètriques i calcula l' equació implícita 3.-Dóna a t tres valors diferents, sustitueix-los en les equacions paramètriques, calcula les coordenades dels punts de r en cada cas, i comprova a l'escena que són punts de la recta canviant el valor de t.
4.- Mou el punt B, canviant el valor de t, i repeteix els apartats 1 i 2 pel nou punt B. |
|
Podràs comprovar que l'equació implícita que resulta és la mateixa, i que els punts que s'obtenen de les paramètriques, són els mateixos que abans. |
||
EXERCICI 6 |
||
Troba totes les equacions contínua, explícita i punt pendent de la recta que passa pels punts A(5,-1) i B(1,4) |
EXERCICI 7 |
||
Troba les equacions paramètriques de la recta 3x - 4y = 10 |
||
|
1.- Comença buscant dos punts de la recta. Primer punt: substituint a l'equació implícita el valor y=-1, trobes el valor de x corresponent a aquest punt de la recta. Segon punt: substituint y=2, trobes un altre valor de x del altre punt
2.- Conoeixent dos punts, l'exercici és similar a l'anterior. Escriu en el teu full les equacions paramètriques. 3.- Dóna tres valors a t, en aquestes equacions, i comprova en l'escena que són punts de la recta triada. |
|
EXERCICI 8 |
|
|
Troba en el teu full totes les equacions contínua, explícita i punt pendent de la recta 3x - 4y = 10 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ángela Núñez Castaín ( adaptat per Maria Rosa Latorre i Sarlé) |
|
|
|
|
© Ministerio de Educación. Año 2010 |
||
|
|
Los
contenidos de esta unidad didáctica están bajo una
licencia
de Creative Commons si no se indica lo contrario.