Equacions de la recta

Geometria

 


1. EQUACIONS DE LA RECTA

L’equació d’una recta és una relació  entre les coordenades (x,y) de tots els punts de la recta.


EXERCICI 1

Considerem un punt conegut P( p1 , p2) de la recta, un vector director v=(v1,v2) i un punt genèric X(x,y) que representa tots els punts de la recta.

a) Si a l'escena adjunta anem canviant el valor del paràmetre t i observa els vectors d'origen O, p, p+d, p+2d, p-d, tots ells tenen el seu extrem sobre la recta r ?

b) Així, en general, p+td és un vector que, si es situa amb el seu origen en …......... té el seu extrem, X (x,y), sobre la recta …............... i es desplaça sobre ella al variar t.



Una recta r queda determinada vectorialment per

  • un vector de posició p = OP ( format per un punt de la recta conegut P( p1 , p2) i l'origen O)

  • i un vector director d paral·lel a la recta.

A continuació es mostraran diferents equacions que descriuen la recta.


1.1.  EQUACIÓ VECTORIAL DE LA RECTA

Aquesta que s'ha descrit és l' equació vectorial de la recta:


OX = p+t.d


O (0,0) és l'origen de coordenades 
X (x,y) és un punt qualsevol variable de la recta 
p (p1 ,p2)és el vector posició d'un punt P conegut de la recta 
d (d1,d2)és el vector director conegut, paral·lel a la recta 
t és un paràmetre.

Al donar valors a t, obtindrem els diferents punts X(x,y) de la recta




1.2. EQUACIONS PARAMÈTRIQUES DE LA RECTA

Si a l' equació vectorial es substitueixen els vectors per les seves coordenades, queda així: 

(x,y) = (p1,p2) + t (d1,d2)

(x,y) = (p1+ t d1, p2 + t d2)

Expressant per separat cada coordenada s'obtenen les equacions paramètriques:

(x,y)   són les coordenades d'un punt qualsevol desconegut de la recta 
(p1,p2)   són les coordenades d' un punt conegut de la recta 
(d1,d2)   són les coordenades d' un vector paral·lel a la recta 
t  és un paràmetre. Per cada valor que li donem a t s'obté un punt (x,y) de la recta.


1.3. EQUACIÓ CONTÍNUA DE LA RECTA

Si aïllem el paràmetre t de les equacions paramètriques




Aleshores l'equació que resulta d'igualar les dues expressions, s'anomena equació contínua de la recta






1.4. EQUACIÓ EXPLÍCITA DE LA RECTA

Si partim de l'equació contínua




i podem aïllar la y, obtenim una equació de la forma y = mx + n, que és la denominada equació explícita de la recta, on

  • m és el pendent de la recta i

  • n és l' ordenada a l'origen

EXERCICI 2

a) Parteix de l'expressió de l'equació contínua d'una recta i segueix els diferents passos fins arribar a l'equació explícita de la recta.

b) Quin és el valor de la m que has trobat?


1.5. EQUACIÓ DE LA RECTA EN FORMA PUNT-PENDENT 

Si d'una recta coneixem un punt P(x0,y0) i el seu pendent m, aleshores la seva equació és:y - y0 = m(x – x0)

EXERCICI 3

A la següent escena està representada i calculada l'equació de la recta que passa pel punt P(-2,1) i té pendent m = -3/4 = -0.75.

Pots variar les coordenades del punt P i el pendent m, en els botons inferiors, per veure com varia la gràfica de la recta i la seva equació. Aquesta apareix de forma implícita.

EXERCICI 4

1.- Substitueix en l'equació PUNT-PENDENT, les coordenades de P i el valor de m, i calcula l'equació implícita de la recta. 

2.- Escriu en el teu full l'equació PUNT-PENDENT de la recta que passa pel punt P(4,3) i té de pendent m=1.8 

3.- Calcula la seva equació implícita. 

4.- Comprova-lo a l'escena.

1.6. EQUACIÓ GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA

Si partim de l' equació contínua de la recta i ho escrivim en un membre igualat a zero, arribem a l'equació:

Ax + By + C = 0

Anomenada equació general o ímplicita de la recta.


EXEMPLE

Anem a trobar les equacions vectorials, paramètriques i general de la recta r representada en aquesta escena.

Agafem: 

  • el vector posició d'un punt qualsevol de
    p(3,6)

  • un vector qualsevol, paral·lel a r  
    d(3,2)

EQUACIÓ VECTORIAL

OX = p +t.d

En aquesta escena si vas canviant el valor del paràmetre t, aniràs veient els diferents punts X de la recta r, i les seves coordenades desduïdes de les equacions paramètriques.

EQUACIONS PARAMÈTRIQUES

Per aïllar la t, multipliquem la primera equació per 2, la segona per -3 i sumem:  
2x-3y=-12

EQUACIÓ GENERAL

2x-3y+12=0




EXERCICI 5

Troba les equacions paramètriques i la implícita de la recta que passa pels punts A(5,-1) i B(1,4)

Tal i com hem dit abans, per tenir definida una recta vectorialment, necessitem tenir un punt de la mateixa i un vector de la mateixa direcció.

Punt: qualsevol dels dos donats , A o

Vector director: el que uneix els dos punts donats AB 



EXERCICI 6

1.- Ara escriu en el teu full les equacions paramètriques de la recta que passa pels punts A(5,-1) i B(1,4).

2.- Elimina la t entre les dues equacions paramètriques i calcula l' equació implícita

3.-Dóna a t tres valors diferents, sustitueix-los en les equacions paramètriques, calcula les coordenades dels punts de r en cada cas, i comprova a l'escena que són punts de la recta canviant el valor de t.

Si vols veure algun punt que es surti de l'escena, pots canviar l' escala o la posició dels eixos en els botons superiors de la mateixa.

4.- Mou el punt B, canviant el valor de t, i repeteix els apartats 1 i 2 pel nou punt B

Podràs comprovar que l'equació implícita que resulta és la mateixa, i que els punts que s'obtenen de les paramètriques, són els mateixos que abans.

EXERCICI 6

Troba totes les equacions contínua, explícita i punt pendent de la recta que passa pels punts A(5,-1) i B(1,4)


EXERCICI 7

Troba les equacions paramètriques de la recta 3x - 4y = 10 

1.- Comença buscant dos punts de la recta. 

Primer punt: substituint a l'equació implícita el valor y=-1, trobes el valor de x corresponent a aquest punt de la recta. 

Segon punt: substituint y=2, trobes un altre valor de x del altre punt 

Mou el punt P a l'escena per comprovar els dos punts.  

2.- Conoeixent dos punts, l'exercici és similar a l'anterior. Escriu en el teu full les equacions paramètriques.

3.- Dóna tres valors a t, en aquestes equacions, i comprova en l'escena que són punts de la recta triada.

EXERCICI 8



Troba en el teu full totes les equacions contínua, explícita i punt pendent de la recta 3x - 4y = 10 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ángela Núñez Castaín ( adaptat per Maria Rosa Latorre i Sarlé)

 

© Ministerio de Educación. Año 2010

 

 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.