Vector Normal

	VECTOR NORMAL
	Geometria

3. VECTOR NORMAL A UNA RECTA

S'anomena vector normal a una recta a qualsevol vector perpendicular a ella.

Rectes paramètriques

El vector (d,-b) és normal a la recta r, ja que és perpendicular al seu vector director (b,d).

Veiem-ho: el producte escalar (d,-b).(b,d) = db-bd = 0

Recta implícita

Ax + By + C = 0

El vector (A,B) és normal a la recta r

Veiem que (A,B) és perpendicular a Ax + By + C = 0:

Si P(x₁,y₁) i Q(x₂,y₂) pertanyen a la recta, les seves coordenades compleixen l'equació:

Ax₂ + By₂ + C = 0
Ax₁ + By₁ + C = 0

Restant: A(x₂-x₁) + B(y₂-y₁) = 0

Aquesta darrera igualtat vol dir que el producte escalar (A,B).(x₂-x₁,y₂-y₁) = 0

És a dir el vector de coordenadas (A,B) és perpendicular a un vector director de r, PQ i, per tant, és normal a r.

EXEMPLE 1

Si la recta és el vector director és v(7,-1) i el vector normal és n(1,7) .

En aquesta escena l'hem anomenat v(a,b) i n(c,d)

Canvia a i b, per a que sigui v(6,-3)

Pots arrossegar l'extrem del vector v, clica els botons de la part inferior, o teclejar els valors i clicar enter

Veuràs que ara l'angle que forma n amb la recta no és de 90º.

Tindràs que canviar c i d per a que sigui n(3,6) i aleshores tindrem l'angle de 90º, o sigui ara n si és perpendicular a la recta.

Prova de canviar a, b, c i d, de tal manera que l'angle sigui de 90º.

EXERCICI 1

1.-Si el vector director és v(5,-1), quin pot ser n? Escriu-lo en el teu full i comprova-ho a l'escena anterior. Escriu també com ha quedat l'equació de la recta.

2.- Si el vector director és v(-4,2), pot ser el vector normal n(4,8)? Escriu la resposta en el teu full, justifíca-la i comprova-la a l'escena anterior. Escriu també com ha quedat l'equació de la recta.

3.- Si v=(-3,1), quant ha de valer d per a que n(2,d) sigui un vector normal de la recta. Escriu la teva resposta en el full, justifica-la i comprova-ho a l'escena anterior. Escriu també com ha quedat l'equació de la recta.

EXEMPLE 2

Si la recta ve donada en forma implícita: Ax+By+C=0

Ara tenim la recta 5x - 2y + 4 = 0. Un possible vector normal és n=(c,d)=(5,-2)

En aquest cas el vector director pot ser v=(a,b)=(2,5)

Canvia a i b, per a que sigui v(3,2). Veuràs que ara l'eqaució de la recta és 2x-3y+4=0.

Si no has canviat n, i sigueixes amb n(5,-2), veuràs que l'angle NO és de 90º. Tindràs que canviar c i d per a que sigui n(2,-3), o sigui c=A=2, d=B=-3, i efectivament n sigui normal a la recta.

ATENCIÓ: no hi ha un únic vector normal i un vector director d'una mateixa recta. Es poden agafar d'altres que tinguin la mateixa direcció.

Per exemple es pot veure v(3,2) i n(1,-1.5), i n seguirà essent normal a la recta.

O bé v(1.5,1) i n(-2,3) i n seguirà essent normal a la recta.

Pots anar seguint canviant v i n, per aconseguir que n sempre sigui normal a la recta, o sigui formi un angle de 90º amb v.

EXERCICI 2

1.- Si el vector director és v(-5,1), qui pot ser n? Escriu-lo en el teu full i comprova'l a l'escena anterior. Escriu també com ha quedat l'equació de la recta Ax + By + C = 0.

2.- Si el vector director és v(-4,2) pot ser el vector normal n(1,2)? Escriu la teva resposta en el teu quadern, justifica-la i comprova-la a l'escana anterior. Escriu també com ha quedat l'equació de la recta. Ara no és c=A i d=B , poden ser també correctes les coordenades de n? Per què?

3.- Si v=(-3,1), quant ha de valer d per a que n(2,d) sigui un vector normal de la recta. Escriu la resposta en el teu full, justifica-la i comprova-la en l'escena anterior. Escriu també com ha quedat l'equació de la recta. Ara no és c=A i d=B .Poden ser correctes les coordenades de n? Per què?

	Ángela Núñez Castaín ( adaptat per Maria Rosa Latorre i Sarlé)

	© Ministerio de Educación. Año 2010

Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.