LLOCS GEOMÈTRICS 

( Ampliació)

Geometria

7. LLOCS GEOMÈTRICS

7.1. MEDIATRIU D'UN SEGMENT

Si mous amb el ratolí el punt A i/o el punt B, o canvies les seves coordenades en els botons inferiors, veuràs que els punts X de la mediatriu, sempre restaran a la mateixa distància de A i de B.

Però també pots veure que la mediatriu talla el segment AB en el punt mig M, i és perpendicular a ell. 

Per aquesta raó, els vectors MX i AB són perpendiculars, o sigui el seu producte escalar és zero.

Tot això ho pots comprovar a l'escena.

Així a l'inici de l'escena tenim que  A(-3,4), B(1,0) y X(x,y),  aleshores

I fent les operacions pertinents ens queda l'equació de la recta y = x + 3, que és la mediatriu del segment AB. 

També pots comprovar a l'escena que la recta representada és y = x + 3, doncs té de pendent 1 i d' ordenada a l' origen 3.

EXERCICI 1

1.- Troba l'equació de la mediatriu del segment d'extrems A(0,5) i B(4,3).

2.- Comprova els teus càlculs a l'escena anterior i escriu en el teu full quin és el pendent de la recta obtinguda i l'ordenada a l'origen.

3.- Calcula el producte escalar dels vectors MX·AB, que si els teus càlculs són correctes t'ha de donar igual a zero, ja que són perpendiculares.

4.- Calcula les distàncies AX i BX, que pots comprovar a l'escena.

5.- Calcula les coordenades del punto mig M del segment AB, i comprova'l a l'escena.

7.2. BISECTRIU D'UN ANGLE 

El paràmetre a que surt en el botó inferior de l'escena, correspon a l'abscissa del punt X. Si canvies el valor de a, veuràs els diferents punts X de la recta vermella, que és la bisectriu de l'angle que formen les altres dues rectes blaves.

Per qualsevol punt X de la bisectriu, la distància de X a las dues rectes que forman l'angle és la mateixa. Mou el punt X i ho comprovaràs. 

 En el nostre cas ens queda així:  

Però si |A|=|B| es poden donar dos casos: A=B  o  A=-B  

Per tant pot ser: 

11x+2y-20=2x+11y+7 

o bé

11x+2y-20=-2x-11y-7. 

De la segona igualtat resulta: x+y-1=0, que és la bisectriu (recta vermella) que hem representat. Correspon a l'angle que formen dues rectes blaves i que hem representat en color groc.  
De la primera igualtat resulta: x-y-3=0, que és la bisectriu (recta gris) que hem representat. Correspon a l'altre angle que formen les dues rectes blaves, o sigui al suplementari de l'angle groc representat.

Les dues bisectrius es tallen en el mateix punt que ho fan les rectes i són perpendiculars entre sí.

EXERCICI 2

El paràmetre m que apareix en aquesta escena és el pendent de la recta vermella.

Tenim dues rectes, r1 i r2, que es tallen en un punt formant un angle, del que volem trobar la seva bisectriu. 

Les equacions de r1 i r2  poden veure's a l'escena, així com les distàncies d'un punt X de la recta vermella a r1 i r2.

Troba l'equació de la bisectriu, i quan esbrinis el seu pendent, m, introdueix el seu valor a l'escena i comprova que es compleix que:

dist(X,r₁) = dist(X,r₂)

7.3. CIRCUMFERÈNCIA

Circumferència de centre C i radi r és el lloc geomètric dels punts, X, on la distància a C és r

dist (X,C) = r

Si mous amb el ratolí el punt X, veuràs que la distància de C a X  només és 5 quan X està a la circumferència.

EXERCICI 3

En aquest exercici trobaràs l'equació de la circumferència de centre C(-3,0) i radi r=5. 

7.4.  EL·LIPSE

El·lipse de focus F₁ i F₂ i constant k, és el lloc geomètric dels punts, X, en els que la suma de distàncies als focus és k:

dist(X,F₁) + dist(X,F₂) = k

Aquí tenim dibuixada l'el·lipse amb focus F1(-5,2) i F2(4,9) y k=15

Si es desplaça el punt X amb el ratolí, veuràs que només quan X és un punt de l'el·lipse, es compleix que: 

d₁ + d₂ = 15

Així resulta la següent equació:

Ángela Núñez Castaín ( adaptada per Maria Rosa Latorre i Sarlé)

© Ministerio de Educación. Año 2010