LLOCS GEOMÈTRICS ( Ampliació) |
|
Geometria |
|
|
7. LLOCS GEOMÈTRICS
|
||
|
||
7.1. MEDIATRIU D'UN SEGMENT
|
||
|
Si mous amb el ratolí el punt A i/o el punt B, o canvies les seves coordenades en els botons inferiors, veuràs que els punts X de la mediatriu, sempre restaran a la mateixa distància de A i de B. Però també pots veure que la mediatriu talla el segment AB en el punt mig M, i és perpendicular a ell. Per aquesta raó, els vectors MX i AB són perpendiculars, o sigui el seu producte escalar és zero. Tot això ho pots comprovar a l'escena.
|
|
Així a l'inici de l'escena tenim que A(-3,4), B(1,0) y X(x,y), aleshores I fent les operacions pertinents ens queda l'equació de la recta y = x + 3, que és la mediatriu del segment AB. També pots comprovar a l'escena que la recta representada és y = x + 3, doncs té de pendent 1 i d' ordenada a l' origen 3. |
||
|
||
EXERCICI 1 |
||
1.- Troba l'equació de la mediatriu del segment d'extrems A(0,5) i B(4,3). 2.- Comprova els teus càlculs a l'escena anterior i escriu en el teu full quin és el pendent de la recta obtinguda i l'ordenada a l'origen. 3.- Calcula el producte escalar dels vectors MX·AB, que si els teus càlculs són correctes t'ha de donar igual a zero, ja que són perpendiculares. 4.- Calcula les distàncies AX i BX, que pots comprovar a l'escena. 5.- Calcula les coordenades del punto mig M del segment AB, i comprova'l a l'escena. |
7.2. BISECTRIU D'UN ANGLE
|
||
El paràmetre a que surt en el botó inferior de l'escena, correspon a l'abscissa del punt X. Si canvies el valor de a, veuràs els diferents punts X de la recta vermella, que és la bisectriu de l'angle que formen les altres dues rectes blaves. |
||
|
Per qualsevol punt X de la bisectriu, la distància de X a las dues rectes que forman l'angle és la mateixa. Mou el punt X i ho comprovaràs.
En
el nostre cas ens queda així: Però si |A|=|B| es poden donar dos casos: A=B o A=-B Per tant pot ser: 11x+2y-20=2x+11y+7 o bé 11x+2y-20=-2x-11y-7. |
|
De la
segona
igualtat resulta:
x+y-1=0,
que
és la bisectriu
(recta
vermella) que hem representat. Correspon a l'angle que formen dues
rectes blaves i que hem representat en color groc. Les dues bisectrius es tallen en el mateix punt que ho fan les rectes i són perpendiculars entre sí. |
EXERCICI 2 |
||
El paràmetre m que apareix en aquesta escena és el pendent de la recta vermella. |
||
|
Tenim dues rectes, r1 i r2, que es tallen en un punt formant un angle, del que volem trobar la seva bisectriu. Les equacions de r1 i r2 poden veure's a l'escena, així com les distàncies d'un punt X de la recta vermella a r1 i r2. Troba l'equació de la bisectriu, i quan esbrinis el seu pendent, m, introdueix el seu valor a l'escena i comprova que es compleix que: dist(X,r1) = dist(X,r2)
|
7.3. CIRCUMFERÈNCIA |
||
Circumferència de centre C i radi r és el lloc geomètric dels punts, X, on la distància a C és r dist (X,C) = r |
||
|
Si mous amb el ratolí el punt X, veuràs que la distància de C a X només és 5 quan X està a la circumferència. EXERCICI 3 En aquest exercici trobaràs l'equació de la circumferència de centre C(-3,0) i radi r=5.
|
7.4. EL·LIPSE |
||
El·lipse de focus F1 i F2 i constant k, és el lloc geomètric dels punts, X, en els que la suma de distàncies als focus és k: dist(X,F1) + dist(X,F2) = k |
||
|
Aquí tenim dibuixada l'el·lipse amb focus F1(-5,2) i F2(4,9) y k=15 Si es desplaça el punt X amb el ratolí, veuràs que només quan X és un punt de l'el·lipse, es compleix que: d1 + d2 = 15
Així resulta la següent equació: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ángela Núñez Castaín ( adaptada per Maria Rosa Latorre i Sarlé) |
|
|
|
|
© Ministerio de Educación. Año 2010 |
||
|
|
Los
contenidos de esta unidad didáctica están bajo una
licencia
de Creative Commons si no se indica lo contrario.