He aquí varias razones por las que una función puede ser discontinua en un punto:

El punto de DISCONTINUIDAD es x=a 

Si vas dando valores distintos a x, abscisa del punto P de la función ¿qué ocurre cuando x=a? 

Puedes cambiar el valor de a en la escena y viendo las distintas funciones que tienen un punto de DISCONTINUIDAD en x=a 

B) Presenta un salto:

Puedes cambiar el valor de a en la escena e irán dibujándose distintas funciones. 

¿Para qué valor de a la función que representa es CONTINUA? 

En la escena siguiente, la función NO ES CONTINUA en x=a porque para ese valor se hace cero el denominador. Pero existe para el resto de valores de x.
Solamente le falta un punto.
Su dominio es D=R-{a} 

En la escena el punto cuya abscisa es x=a está rodeado por un pequeño círculo hueco, para indicar que es el único punto que le falta a la gráfica para ser continua.

P es un punto cualquiera de la función que puedes ir moviendo al introducir su valor de la abcisa x.

Comprueba qué ocurre cuando x=a.

También puedes cambiar el valor de a e ir viendo las  distintas funciones similares, pero con el punto de discontinuidad en otro lugar.

El Dominio de esta función es R, o sea existe para cualquier valor real de x, pero NO ES CONTINUA  en x=a
El punto (a,a) (en hueco) no pertenece a la función, se ha desplazado al punto (a,1) que sí pertenece a la función.

El punto P es un punto cualquiera de la función.

Comprueba lo que ocurre cuando introduces en la escena el valor x=a  siendo x la  abscisa del punto P.

Para distintos valores de a van apareciendo funciones similares a la del inicio. Pero hay un valor de a para el cual tendremos una función continua y ya no habrá huecos en la gráfica. ¿Cuál es ese valor de a? 

y = x³ - 3x + 2 está definida en todo R. Por tanto es continua en todo R.
 
es continua en todos los puntos, salvo en x = -3, en donde no está definida.