logo descartes PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Álgebra
 



Se resolverán los siguientes problemas de forma organizada siguiendo las cuatro fases (o pasos) y utilizando ecuaciones de segundo grado.

Problema 1
El producto de un número aumentado en 3 por el mismo número disminuído en 4 es 98. Calcular el número.
Fase 1: Sea x el número que nos piden
Fase 2: (x+3)(x-4)=98
Fase 3: x^2+3x-4x-12=98
x^2-x-110=0
x=-10, x=11
Fase 4: La solución será en el caso que el número valga -10, o el número valga 11

Problema 2
El número 97.656 es el producto de dos números naturales consecutivos.Hallar dichos números.
Fase 1: Sea x el número que nos piden
Fase 2: x·(x+1)=97.656
Fase 3: x^2+x=97656
x^2+x-97656=0
x=-313 no valida porque no es natural, x=312
Fase 4: La solución es el 312 y su consecutivo que es el 313
nota: ¿sería mejor la estrategia de método de ensayo y error??, por ejemplo sin recurrir a planteamientos algebraicos, se observa que esos dos números naturales al ser consecutivos, son "casi iguales" y 97656 es "casi" un cuadrado perfecto. Por tanto, la raíz cuadrada de ese número estará cerca de los dos. Al calcularla se obtiene 312,4996 se prueba con el 312 y el 313: 312·313=97.656
Así pues los números buscados son el 312 y 313

Problema 3
Calcula el perímetro de una piscina sabiendo que su longitud es 3/4 de su amplitud  y su superficie es 12m^2
Fase 1: Sea x la amplitud de la piscina, entonces la longitud es 3/4 x 
Fase 2: Se sabe que el àrea de un rectángulo es base·altura, por tanto [(3/4)x] ·[x] =12
Fase 3: (3/4)x^2=12
3x^2=48
x^2=48/3
x=+4válida, x=-4 no válida
perímetro= 4+4+(3/4)·4+(3/4)·4=14 m
Fase 4: La solución es 14m la longitud del perímetro que es la suma de los los lados del rectángulo formado por la piscina, efectivamente si se comprueba 2·4+2·(3/4)·4=14m 


Problema 4
Encontrar la arista de un cubo sabiendo que el número que expresa el área total en centímetros cuadrados supera en 210 el número que expresa la suma de las longitudes de todas sus aristas en centímetros.
Fase 1: Un cubo tiene seis caras que son cuadradas, por tanto sea x la longitud de la arista en cm
Fase 2: Se sabe que en total hay 12 aristas, así que su longitud total en cm es: 12x, por tanto la ecuación es: 6x^2=12x+210
Fase 3: 6x^2=12x+210
6x^2-12x-210=0 (divido por 2 ambos miembros de la igualdad) 3x^2-6x-105=0
x= 7, x=-5 no es válida ya que el problema nos exige que sea x>0
por tanto x=7cm
Fase 4: efectivamente la solución correcta es 7cm ya que si calculo el área 6(7)^2=294, coincide con 12(7)+210=294

Problema 5
Calcular la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles de área 50m^2
Fase 1: Sea x la longitud de un cateto. En un triángulo rectángulo isósceles los catetos tienen el mismo valor, así pues el otro cateto también vale x.
Fase 2: El área de un triángulo cualquiera es: (base·altura)/2, puesto que el área vale 50m^2 se obtiene la ecuación: (x·x)/2, tomando como base uno de los catetos y como altura el otro cateto.
Fase 3: x^2=50·2
x^2=100
x=10, x=-10 no es válida por ser negativa.
El cateto vale 10m
Fase 4: efectivamente si se comprueba la ecuación planteada (10·10)/2=50

Problema 6
El área de un triángulo rectángulo es 162cm^2. Si mide el doble de ancho que de largo ¿cuáles son las dimensiones del triángulo?  
Fase 1: Se va a plantear mediante una tabla:
datos conocidosdatos desconocidos
el área es 162cm^3el ancho
el largo es el doble que el anchoel largo
x es el ancho,   2x es  el largo
Fase 2: por tanto como  el área es 162 cm^2 la ecuación queda como:  162=x·2x
Fase 3: 2·x^2=162
x^2=162/2
x=9, x=-9 no válida por ser negativa
Fase 4: se comprueba fácilmente que 9·2·9=162

Problema 7
En un triángulo réctangulo, la hipótenusa mide 10cm. Calcula los catetos si la longitud de uno es el triple de la del otro.
Fase 1: En primer lugar x es un cateto, por tanto 3x es el otro cateto
Fase 2: Como es un triángulo rectángulo se aplica el teorema de Pitágoras: x^2+(3x)^2=10^2
Fase 3: x^2+9·x^2=100
10·x^2=100
x^2=10
x=sqrt(10), x=-sqrt(10) no válida ya que es negativa
por tanto, la solución será que un cateto mide sqrt(10) cm y el otro 3·sqrt(10)cm
Nota: sqrt es la raíz cuadrada.
Fase 4: se comprueba que efectivamente (sqrt(10))^2+(3(sqrt(10))^2=10^2
10 + 9·10=100
100=100

Problema 8
Calcula cuánto dinero tiene Alex sabiendo que si gasta dos veces el cuadrado de la cantidad de monedas de 10 céntimos que tiene se queda sin dinero.
Fase 1: x será el dinero que tiene Alex; se sabe que como tiene monedas de 10 centimos : x/10
Fase 2: por tanto la ecuación queda de la siguiente forma x-2·(x/10)^2=0
Fase 3: x^2+9·x^2=100
x-2(x^2)/(10^2)=0
100·x-(2·x^2)=0
x=50, x=0
Alex tiene 50 céntimos.
Fase 4: se comprueba que efectivamente 50-2·(50/10)^2=0
50-2·25=0
0-0=0, si se cumple


Problema 9
Hallar dos números naturales pares consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea 268 (sol. 66 y 68)
Problema 10
El producto de los 5/6 de un número natural por sus 2/9 es 630.Calcular el número. (sol. 63)

COMPRUEBA LA  SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS UTILIZANDO UNA PARÁBOLA (MÉTODO GRÁFICO)
Consiste en representar una parábola en el eje coordenado que aparece a continuación, y observar los puntos donde corta al eje de abscisas (eje de las x; y=0). Cada ecuación se pondra de la forma a·x+b·x+c=0 

1.-Escribe los valores de m y k para determinar la ecuación de la recta:

Se le dan valores a: a, b y c , después pulsar la tecla Intro.

La solución será el lugar donde la curva corte al eje de las x

2.- Repite el proceso para comprobar la solución de todos los problemas resueltos y no resueltos.
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  Isabel Pons Tamarit
logo2 descartes   autores applet: José Luis Abreu y Marta Oliveró
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