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ESTRATEGIAS. FASES DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO ECUACIONES O SISTEMAS DE ECUACIONES |
| Álgebra | |
| Problema
es toda cuestión en la que se trata de calcular una o varias
cantidades desconocidas por medio de otras conocidas con las que se
hallan relacionadas. Las cantidades conocidas se llaman datos, y las desconocidas incógnitas.Para resolver problemas se realizará una estrategia. Existen muchas estrategias para resolver problemas, algunas de ellas son:hacer un dibujo o completarlo, hacer un diagrama de árbol, elegir la incognita y plantear ecuaciones, expresar relaciones de forma algebraica, hacer un esquema, utilizar la notación ciéntifica (problemas donde los datos son excesivamente grandes o pequeños), reducir el problema a uno conocido, particularizar o generalizar ( en el caso de problemas que se tiene que encontrar la expresión general de una relación o fórmula, entonces se parte de casos particulares, se busca una relación y se generaliza), imaginar el problema resuelto(es útil en los problemas de construcciones geométricas, se empieza trazando a mano alzada una figura aproximada a la que se quiere construir, se observa y se obtiene la solución), utilizar gráficas y relacionarlas con las tablas y fórmulas, obtener gráficas más sencillas, interpretar gráficas y dibujos, pasar de una tabla a un gráfico,experimentar con los datos del problema (por ejemplo contar detenidamente algunos de los elementos o partes de una figura geométrica, en ocasiones también conviene ensayar o experimentar con los datos del enunciado), .............. |
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| A continuación se derrollan algunas de las estrategias: | ejemplos: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Método de ensayo y error Consiste
en elegir un resultado u operación y aplicar lo que dice el enunciado
hasta conseguir el objetivo. Si de este ensayo se obtiene error, se
repite el procedimiento con otros números hasta alcanzar el objetivo o
demostrar que es imposible de resolver. En todo el proceso se tendrán
en cuenta los ensayos ya realizados. | **Obener un número natural tal que elevado al cuadrado y sumado con él mismo dé como resultado 156 Planteamiento y resolución: Suponiendo que el número es 4, entonces: 4^2+4=16+4=20 El número es muy inferior a 156, se repite el proceso pero incremento el número, por ejemplo con 11 entonces, 11^2+11= 121+11=132 Como es inferior repetimos con otro superior, por ejemplo , 16, entonces: 14^2+14=210 Se observa claramente que el número excede por tanto estará entre el 11 y el 14, por ejemplo el 13 13^2+13=182, este también da superior, por lo tanto se coge el 12, entonces: 12^2+12=156 Se concluye que el número que elevado al cuadrado y sumado con él mismo es el 12 **Obtener un número natural tal que elevado al cuadrado menos él mismo dé como resultado un número de tres cifras que tenga dos ceros(sol.25) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hacer una tabla Hay ocasiones en las que, al considerar cada condición de un problema, interesa obtener una tabla con una serie de números. La solúción será el número que está en todas las tablas y cumple las condiciones establecidas. | **Mireia colecciona llaveros y le dijo a sus amigos Alex y Marta: "si agrupo mis llaveros en grupos de 11 me sobran 5, y si los agrupo en grupos de 23 me sobran 3. ¿Cuántos llaveros tengo si son menos de 50?" 1ª condición:Agrupados de 11 en 11 y sobran 5, así que las posibilidades son: 11+5, (11·2+5),(11·3+5), (11·4+5).................
2ª condición: Agrupados de 23 en 23 sobran 3, así que las posibilidades son: 23+3,(23·2+3),(23·3+3)...............
El número 49 aparece en las dos tablas por tanto Mireia tiene 49 llaveros. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Buscar regularidades y generalizar Los ennunciados más significativos en Matemáticas son los enunciados generales. Por ello, es importante realizar generalizaciones a partir de situaciones y casos particulares. Pero, para generalizar, es necesario encontrar regularidades en las situaciones particulares que se consideren. | ejercicio: Plantea un ejemplo que pienses que sea de este tipo. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Empezar con problemas más pequeños Resulta de mucha más utilidad resolver casos más sencillos en problemas numéricos, de medida o de Geometria. De esta forma se podrá obtener alguna pauta que nos permita resolver el problema y en ocasiones también puede servir en otros más complicados. | **¿Cuanto valdrá esta suma? (1/(1·2))+(1/(2·3))+(1/(3·4))+(1/(4·5))+(1/(5·6))+(1/(6·7))+(1/(7·8)) ¿Podemos obtener su resultado sin necesidad de efectuar todas las sumas? Se empieza sumando los dos primeros términos, a continuación los tres primeros, y así sucesivamente, hasta conseguir el resultado final. (1/(1·2))= 1/2 (1/(1·2))+(1/(2·3))=3/6+1/6=4/6=2/3 (1/(1·2))+(1/(2·3))+(1/(3·4))=12/24+4/24+2/24=18/24=3/4 (1/(1·2))+(1/(2·3))+(1/(3·4))+(1/(4·5))=60/120+20/120+10/120+6/120=96/120=4/5 Se obseva que el resultado de cada suma es una fracción cuyo numerador coincide con el número de sumandos, y cuyo denominador es una unidad mayor que el numerador. Por tanto, el resultado de la suma total, formada por 7 terminos, será 7/8 **Ocho jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en los cuartos de final. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos?(sol. 28 emparejamientos) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Empezar por el final Se empiezan a utilizar los datos que aparecen al final y remontando el problema hacea atrás, hasta llegar a utilizar los datos del principio.De esta forma, si sobran datos se prescinde de ellos. | **Dos jugadores eligen por turnos un número entre el 1 y el 10, y lo van sumando a los números elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 100 es el ganador. Un ejemplo de una partida
¿Cúal es la estrategia que hay que seguir para este juego? Este problema se resuelve empezando desde atrás, entonces se observa que para ganar el primer jugador (j A) tiene que sumar 89, ya que al ser el segundo jugador (j B) tendrá que decir un número del 1 al 10 y por tanto j A podrá completar hasta llegar a 100. Si el j A empieza por 1 tiene que decir números tal que sus sumas sean: 89, 78, 67,56,45,34,23,12,1 por tanto la estrategia ganadora se resume en:
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| Ya que la resolución de problemas es un proceso complejo, combiene habituarse a proceder de un modo ordenado ante cualquier problema, se seguiran estas cuatro fases: | ****En una cafeteria hay 120 personas entre mujeres y hombres. Si se van 40 hombres, el número de mujeres y el de hombres es igual. ¿Cuántas mujeres y hombres hay en la cafetería? |
| Fase 1:Comprensión del problema. Para comprender el problema se realizará una lectura exhaustiva del mismo. A continuación se elige la incógnita(as) , y se le designa con una letra (generalmente se suele utilizar la x, pero sería aconsejable ir variando para que se aprecie que puede servir cualquiera) |
Después de haber leído el problema, se hace un pequeño esquema: x= número de hombres y= número de mujeres se sabe que en total hay 120 personas por tanto, x+y=120 el enunciado también dice que si se van 40 hombres queda igual al número de mujeres: x-40 = y |
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| Fase 2: Elaboración de un plan Se plantea la ecuación(nes), es decir la relación existente entre los datos y la incógnita, se expresa por medio de una ecuación(nes). Para plantearla, debe procederse como si la incógnita fuera conocida. | En este caso queda el sistema de ecuaciones x+y = 120 x-40=y |
| Fase 3: Ejecución del plan anterior Es decir se resuelve la ecuación, para ello se siguen los procedimientos explicados en la unidad de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. | método de sustitución: x+(x-40)=120 2x-40=120 x=160/2=80 será el número de hombres y=80-40=40 el número de mujeres. |
| Fase 4: Recapitulación. Se discute la solución, comprobando si cumple lo establecido en el problema. | efectivamente si se comprueba la solución: 80+40=120; 80-40=40 |
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| Isabel Pons Tamarit | ||
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| © Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2009 | ||