RETOS AVANZADOS-I

Álgebra

 

1. AREA DE UN TRIÁNGULO EN UNA TRAMA CUADRANGULAR

En esta primera escena se muestra una trama cuadrangular donde se encuentra un triángulo. Por motivos prácticos el vértice A es fijo, el B solamente se puede mover sobre la línea horizontal inferior (con las flechitas de "base") y el punto C puede moverse por toda la trama (variando los valores de "altura" y "derecha") excepto por la línea horizontal inferior (un segmento no forma un triángulo). Los vértices siempre se sitúan en puntos de la trama.

40.- Visualiza en la escena diferentes triángulos y ve completando, en tu cuaderno de trabajo, una tabla como la siguiente:

Base

Altura

Puntos perímetro

Puntos interiores

Área figura

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOTA: La unidad de área es el cuadrado naranja representado. La unidad de longitud es, evidentemente, el lado de dicho cuadrado. Los puntos de la trama que forman parte del perímetro de la figura son aquellos que se encuentran sobre cualquiera de sus lados. Tendrás que fijarte bien.

 

2. AREA DE UN PARALELOGRAMO EN UNA TRAMA CUADRANGULAR

En la escena siguiente puedes visualizar diferentes tipos de paralelogramos. Para cambiar el paralelogramo basta con que varíes los valores de "altura" y de "base" (uno u otro, o ambos a la vez). Las restricciones impuestas a los vértices son similares a las de la escena anterior.

41.- Repite la actividad anterior para distintos paralelogramos que visualices en la escena.

42.- Con los resultados obtenidos en las dos actividades precedentes, intenta hallar una relación que ligue: el número de puntos del perímetro, el número de puntos interiores y el área de la figura correspondiente. Si lo resuelves habrás obtenido un resultado conocido con el nombre de "Teorema de Pick". (PISTA: sumando a una de las cantidades el resultado de multiplicar la otra por un coeficiente adecuado obtendrás un valor que difiere del área real de la figura en una cantidad entera y pequeña)

 

3. EL TEOREMA DE PICK

En esta escena hemos eliminado los parámetros y podemos mover, con el ratón, cualquiera de los cuatro vértices del cuadrilátero, siempre sobre puntos de la trama. Si has resuelto con éxito la actividad anterior puedes representar cuadriláteros cualesquiera y hallar su área sin necesidad de recurrir a las fórmulas geométricas tradicionales. Si dos de los lados se cruzan o formamos un triángulo, los resultados no serán siempre los esperados (no tendremos un cuadrilátero)

43.- Visualiza diez cuadriláteros cualesquiera, cinco cóncavos y cinco convexos, en la escena. Anota en tu cuaderno de trabajo, para cada uno, el número de puntos de la trama en su perímetro, el número de puntos interiores y el área indicada. Calcula sus áreas usando el teorema de Pick. Comprueba que el área calculada coincide con el área dada en la pizarra electrónica.

44.- Investiga en casa: ¿Funciona el teorema de Pick para cualquier figura geométrica plana? ¿Qué sucede si hay vértices de la figura que no son puntos de la trama?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Josep Mª Navarro Canut

 

© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001 (modificación febrero 2007)