Consideremos un sistema de  n  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:

En el epígrafe  1  de esta Unidad, hemos visto que este sistema se puede escribir en forma matricial del siguiente modo:  A X = B.  La matriz  A  se llama  matriz del sistema, es de dimensión  n x n  y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz  X  es una matriz columna, de dimensión  n x 1,  formada por las incógnitas del sistema. Por último, la matriz  B  es otra matriz columna, de dimensión  n x 1,  formada por los términos independientes. Es decir:

Si el determinante de la matriz  A  es distinto de cero  ( det (A) # 0 ),  la matriz  A  tiene inversa  ( A^-1 ). Por lo tanto, podemos calcular la matriz de las incógnitas  X  del siguiente modo:

Es decir, para calcular la matriz columna de las incógnitas  ( X ), multiplicamos la inversa de la matriz  A  ( A^-1 )  por la matriz columna de los términos independientes, obteniéndose otra matriz columna de la misma dimensión que  X.

El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.

¿Se puede aplicar el método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles que tengan más ecuaciones que incógnitas?

La respuesta es afirmativa. Basta con obtener un sistema equivalente al inicial eliminando las ecuaciones superfluas o dependientes (proporcionales, nulas o que sean combinación lineal de otras). El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, siendo  m > n  y tal que:  rango (A) = rango (A*) = n. Por lo tanto, sobran  m - n  ecuaciones. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, basta encontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden  n  distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz  A. Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir.

El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.

¿Se puede aplicar el método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados?

La respuesta es también afirmativa. El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, tal que:  rango (A) = rango (A*) = k < n. Por lo tanto, sobran  m - k  ecuaciones y, además, hay  n - k  incógnitas no principales. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, y cuáles son las incógnitas no principales, basta encontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden  k  distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz  A. Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales o independientes. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir. Las columnas que figuran en dicho menor corresponden a las incógnitas principales. Las incógnitas no principales las pasamos al otro miembro y pasan a formar un único término junto con el término independiente. Se obtiene, de este modo, un sistema de  k  ecuaciones lineales con  k  incógnitas, cuyas soluciones van a depender de  n - k  parámetros (correspondientes a las incógnitas no principales).

El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.

La siguiente escena resuelve cualquier sistema de ecuaciones lineales compatible (determinado o indeterminado), utilizando el método de la matriz inversa. El número máximo de ecuaciones y de incógnitas que puede tener el sistema es  5.