El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas (comentados en el epígrafe 2), para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ...,  y la primera todas las incógnitas.

El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método.

Partimos, inicialmente, de un sistema de  n  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, compatible determinado:

En primer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en la primera, la incógnita  x₁, obteniéndose un sistema equivalente:

En segundo lugar, aplicando nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita  x₂, obteniéndose un sistema equivalente:

En tercer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las tres primeras, la incógnita  x₃,  y así sucesivamente, hasta obtener el siguiente sistema equivalente:

Para resolverlo despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación.

El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.

Hemos visto como podemos resolver un sistema compatible determinado aplicando el método de Gauss, pero ¿Cómo podemos discutir la compatibilidad o incompatibilidad de cualquier sistema de ecuaciones lineales con éste método?

Consideremos un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas:

Sea  A* la matriz ampliada del sistema con los términos independientes, es decir:

Las transformaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes:

• Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.

• Sumarle o restarle a una fila otra fila.

• Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.

• Cambiar el orden de las filas.

• Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita  y  y la tercera a la incógnita  z, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a la incógnita  z  y la tercera a la incógnita  y.

• Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras.

• Eliminar filas nulas  (0  0  0  ...  0).

Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas  (0  0  0  ...  0),  que corresponden a ecuaciones del tipo  0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora  k  ecuaciones lineales con  n  incógnitas. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:

◊ Si alguna de las ecuaciones es del tipo  0 = b  (siendo  b  distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.

   El siguiente botón abre una ventana que muestra, mediante un ejemplo, este caso.

◊ Si no hay ecuaciones del tipo  0 = b, y además  k = n, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.

   El siguiente botón abre una ventana que ilustra, con un ejemplo, esta situación.

◊ Si no hay ecuaciones del tipo  0 = b  y  k < n, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene  k  ecuaciones, las  k  primeras incógnitas serán las principales y las  n - k  restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.

   El siguiente botón abre una ventana que, a través de un ejemplo, presenta este caso.

La siguiente escena efectúa la discusión y resuelve, en los casos que proceda (sistema compatible determinado o indeterminado), cualquier sistema de ecuaciones lineales, utilizando el método de Gauss. El número máximo de ecuaciones y de incógnitas que puede tener el sistema es  5.