MÉTODO DE NEWTON O DE LA TANGENTE
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EL MÉTODO DE NEWTON O DE LA TANGENTE.

     Este método mejora el método de la secante, en tanto en cuanto partiendo de uno de los extremos del intervalo, calcula la recta tangente a la función f(x), al igual que en aquél, a continuación se halla la intersección de esta recta con el eje OX, obteniendo así una aproximación de la raíz buscada α de la que sabemos que se halla en nuestro intervalo (a,b).

1.- PRIMERA ITERACIÓN.

     Partimos pues de los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)). Llamamos a0=a, b0=b. Calculamos la recta tangente a f(x) en uno de los puntos A ó B. En nuestro caso la calculamos para B. Hallamos la intersección de esta tangente con el eje OX, de donde obtenemos el punto X1 como primera aproximación de la raíz buscada α.

EN LA ESCENA

     En el PASO 0 puedes visualizar los puntos escogidos A0=A y B0=B, cuyas abcisas forman el intervalo [a,b];en el PASO 1 trazamos la recta tangente a f(x) en B; en el PASO 2 intersecamos la tangente con el eje OX, que será la aproximación X1; por último en el PASO 3 vemos el nuevo punto (X1,f(X1)) con el que seguiremos, considerando el intervalo (a,X1).

Te recuerdo que pulsando con el ratón en cualquier punto de la escena puedes visualizar las coordenadas del mismo y variar el intervalo inicial, así como comprobar los distintos pasos para distintos intervalos distintos del inicial.


2.- SEGUNDA  ITERACIÓN.

     En una segunda iteración del método hacemos lo mismo que en la anterior, siguiendo con el mismo punto B, ahora B1, donde calculamos la recta tangente a la función f(x). Después intersecamos con el eje OX obteniendo una nueva aproximación a la raíz buscada α.

EN LA ESCENA

     En el PASO 0 puedes visualizar los puntos escogidos B1=X1 y A1=A0, los cuales forman el nuevo intervalo donde se encuentra la raíz; en el PASO 1 trazamos la recta tangente a f(x) en B; en el PASO 2 intersecamos la tangente con el eje OX, que será la aproximación X2; por último en el PASO 3 vemos el nuevo punto (X2,f(X2)).

     Podemos comprobar que este último punto obtenido X2 aproxima bastante bien a la raíz buscada α, incluso al ver el punto sobre la gráfica (X2,f(X2)) puedes observar que está muy cerca al eje de abcisas.

    
Observa ahora que, tanto en la gráfica como en las coordenadas, se verifica que el intervalo se "estrecha" en torno a la raíz de la función.


3.- ELECCIÓN DEL PUNTO INICIAL.

     Al utilizar el método de Newton hemos de tener especial cuidado al elegir el punto por el que queremos empezar a aplicarlo, ya que una elección no adecuada puede llevar a alejarnos de la raíz buscada, con lo que el método pierde efectividad.

     En esta escena se pone esto de manifiesto, al utilizar la función    f(x)=xex-1.

EN LA ESCENA

     En el PASO 0 situamos, como siempre, los puntos iniciales para el método; en el PASO 1 ves cómo comienza el método partiendo del punto A=A0; en el PASO 2 intersecamos la tangente a f(x) en A0 con el eje de abcisas; y en el PASO 3 llevamos este punto a la gráfica.

    
Observa que conforme mueves el punto A0 con el ratón hacia la izquierda, empeora el método.

PARA QUE EL MÉTODO DE NEWTON FUNCIONE ES NECESARIO COMENZAR POR EL PUNTO CUYA IMAGEN, SI LA FUNCIÓN ES CONVEXA SEA POSITIVA; Y SI LA FUNCIÓN ES CÓNCAVA SEA NEGATIVA.

4.- TABULANDO LA INFORMACIÓN.

     A la vez que vamos iterando, podemos recoger los resultados en una tabla como la siguiente:

 

ITERACIÓN (i) bi Xi f(bi) f(Xi)
1 7.00 5.45 5.31 1.15
2 5.45 4.89 1.15 0.10

 

 


 

5.- EJERCICIOS.

     1.- Ve anotando tus propios cálculos en tu cuaderno a medida que descubres el método.

     2.- Cambia los puntos iniciales A0 y B0. Haz tú mism@ los nuevos cálculos, representando en tu cuaderno aproximadamente los resultados, al igual que ves en las escenas.

     3.- Para la tabla anterior, sigue realizando iteraciones hasta que tengas un decimal de la raíz buscada, cómo sabes que es así?

     4.- Repite este método para la función f(x)=x3-2x2=5 en el intervalo [2,3].


         
           
  Yolanda Jiménez Carmona
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2004