Análise
EXERCICIOS IV
Cóntase que o inventor do xadrez pediu como recompensa: un gran de trigo polo primeiro cadrado do taboleiro, 2 polo segundo, 4 polo terceiro, 8 polo cuarto, e así sucesivamente, duplicando sempre ata o cadrado 64. Averigua os grans que pediu; e se un gran pesa 1 decigramo, calcula o peso do trigo en toneladas métricas.
Suxestión: tenta elaborar o exercicio do caderno manipulando a modo o pulsador que fai avanzar polo 1º, 2º, 3º, ... cadros do taboleiro e lendo con atención os resultados; finalmente, para estudiar o problema coa fórmula da suma dunha progresión de 'n' termos, utiliza o pulsador da parte inferior.

Exercicios no caderno: Copia o enunciado e escribe as operacións que farías para averiguar: Imos usa-la fórmula da suma que aparece na escena. Se 'r' é a cantidade pola que se multiplica o nº de grans dun cadrado para obter o do seguinte, 'an' o número de grans do cadrado 'n' e 'Sn' a suma dos grans de 'n' cadrados escribe as operacións que farías para averiguar:
Reflexión: A seguinte multiplicación de polinomios (r-1)·(a1+a1·r+a1·r·r+a1·r·r·r) ten por resultado (a1·r·r·r·r-a1) é dicir (a4·r-a1). Que relación pode ter esta igualdade coa fórmula da suma de catro termos en progresión xeométrica?
Dado un cadrado dun metro de lado, unamos dous a dous os puntos medios dos seus lados; obteremos un novo cadrado, no que se fará a mesma operación. Procedendo dese xeito sucesivamente, cal é o límite da suma das áreas de tódolos cadrados obtidos?
Suxestión: para contesta-lo primeiro bloque de preguntas debuxa o primeiro cadrado e o segundo pulsando o botón da escena, e cubrindo ámbolos dous coas pezas azuis e rosas; se queres ve-los cadrados desde máis preto podes usar o botón de zoom. Para contesta-lo segundo bloque de preguntas debes facer avanza-la sucesión de cadrados e ler os datos sobre áreas que van aparecendo.

Exercicios no caderno: Copia o enunciado do problema e contesta as seguintes preguntas. Revisa a fórmula da suma dunha progresión xeométrica que aparece na escena anterior, cópiaa no caderno e contesta: Reflexión: Indica a diferencia principas entre as sumas de termos do exercicio anterior (grans por cadro do taboleiro) e deste exercicio (áreas de cadrados encaixados).
Exercicio no caderno: Empeza a resolve-lo seguinte problema mediante un debuxo e relacionando un termo co seguinte.
Nunha vila de 29 524 habitantes adultos, un deles entérase dun "chisme" en certo intre. Ó cabo dun minuto contoullo a 3 dos seus amigos. Cada un deles comunícallo noutro minuto a outras 3 persoas que non o sabían, as cales seguen a estende-la noticia de igual maneira. Canto tempo leva que tódolos vilegos adultos coñezan o "chisme"?
Suxestión:Como podes ver, é difícil representar un crecemento tan rápido; emprega algo os botóns de 'zoom' e de movemento para achegarte ou alonxarte das gráficas.

Exercicios no caderno: Baixo o enunciado realiza un esquema do acontecido ó pasar o minuto 1º, o minuto 2º,... o minuto 9º
Nunha fila colocará-las persoas que o souberon no minuto cero, as que se enteraron no minuto 1º, no minuto 2º,... no minuto 9º
Noutra fila colocará-la suma indicada desas cantidades e o resultado.
Aparte considera a progresión formada polas persoas que se enteraron no minuto 'n' e indica cal é a razón 'r' e como se calcula 'an'
Escribe para esta progresión a fórmula da suma dos 'n' primeiros termos.
Reflexións: A fórmula que escribiches para n=9 coincide exactamente co número de habitantes adultos da vila?
O crecemento dos termos da progresión xeométrica recibe o nome de 'expoñencial'; de que virá ese adxectivo?
Se na fórmula da suma dos termos se quere despexar o expoñente 'n' hai que empregar unha ferramenta matemática que estudiarás en cuarto; pregunta cal é e escríbeo: .............
Un pobre pide hospitalidade a un rico facéndolle a seguinte proposta: pagareiche 1 céntimo polo primeiro día, 2 céntimos polo segundo, 3 polo terceiro e así sucesivamente; en troques, vostede daráme 0,00001 céntimos o primeiro día, 0,00004 o segundo, 0,00008 polo terceiro e así sucesivamente, duplicando sempre a cantidade anterior. O rico consentiu por 30 días. Fai a liquidación total ó fin dese tempo.
Suxestión: Estudia polo miúdo a evolución dos pagos e dos ingresos do pobre pulsando os botóns da escena.

Exercicio no caderno: Anota como observacións o primeiro día no cal o pobre cobra máis do que paga, e o primeiro día no cal o pobre ten un balance histórico favorable a el.
Copia o enunciado e en dúas columnas trata as progresions dos pagos e dos ingresos por separado.
Pagos: a1=.... d=.... a30=....
Suma dos 30 pagos=....
Ingresos: a1=.... r=.... a30=....
Suma dos 30 ingresos=....
Reflexión:Que medra máis rápido, unha progresión xeométrica de razón maior que 1, ou unha progresión aritmética de distancia positiva?
Que ocorre coas progresións xeométricas de razón entre 0 e 1? (Di tamén en que problemas viches algunha).

  María del Carmen González Varela
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2005
 
 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.