El modelo económico de la tela de araña es un caso particular de un procedimiento para resolver ecuaciones de la forma f(x) =g(x). Aunque seguro que sabes resolver ecuaciones de primer grado, en la siguiente escena te vamos a mostrar un procedimiento iterativo para resolverlas. Te adelantamos que no siempre tiene éxito pero ahora veremos por qué.

Vamos a suponer que deseamos resolver una ecuación del tipo ax + b = cx + d. Naturalmente, desde un punto de vista gráfico, la solución de esta ecuación es el punto de corte de las rectas y = ax + b e y = cx + d. Vamos a practicar en la siguiente escena la forma de alcanzar la solución mediante aproximaciones sucesivas:

El caso de las ecuaciones de segundo grado, del tipo ax²+bx+c = 0, presenta la peculiaridad de que puede tener dos soluciones, una o ninguna. En cualquier caso, vamos a ver cómo, si existe solución, puede utilizarse el método anterior, cuando sea convergente claro, para obtenerla de forma iterativa.

En primer lugar, observemos que resolver la ecuación ax²+bx+c = 0 es equivalente a resolver la ecuación ax² = -bx-c, cuya solución, o soluciones, corresponden, desde un punto de vista gráfico, al punto, o puntos, de corte de la parábola y = ax² con la recta y = -bx-c. En la siguiente escena, ve aumentando el valor del control "iter" y observa cómo nos vamos acercando a las soluciones "s" y "t" de la ecuación 0.5x²- 0.5x - 4 = 0: (Puedes aumentar o disminuir el "zoom" para ver mejor el proceso.)

ACTIVIDADES:

1. Observa cuántas iteraciones son necesarias para obtener la solución "s" con una precisión de 10 cifras decimales. Lo mismo para "t".
2. Realiza la actividad anterior tomando cinco valores diferentes para la primera aproximación "x₀".
3. Intenta resolver iterativamente la ecuación 0.2x²-x - 4 = 0 y observa lo que ocurre para la solución "t". Prueba a resolverla con x₀ = -1.25 como primera aproximación y con x₀ = -1.5. Observa lo que ocurre, ¿te sugiere alguna conclusión?
4. Inenta resolver la ecuación 0.4x+ 1.25x - 1.75 = 0 y observa la diferencia entre las soluciones "s" y "t". ¿Hay alguna primera aproximación a partir de la cual el método converga a "s" ? ¿Y a "t"? Pulsa el botón "Ver tangentes" y fíjate en el valor de la pendiente de la recta g(x); compara este valor con la pendientes de las tangentes a la parábola en los puntos de corte "s" y "t".
5. Resuelve distintas ecuaciones de segundo grado utilizando este método y anota cuándo hay éxito y cuándo no. Trata de sacar conclusiones en ambos casos. (Fíjate siempre en el valor de las pendientes de las rectas mencionadas en el apartado anterior.

Si has prestado atención, a estas alturas sabes que este método para resolver ecuaciones depende fundamentalmente de dos cosas, una, la más importante, es que la pendiente de la recta en la que empezamos nuestra "tela de araña" (imagen de la función f(x) o g(x)) en el punto x₀ (primera aproximación a la solución, o soluciones, de nuestra ecuación) sea menor que la pendiente de la otra recta o de la pendiente de la tangente a la parábola en la solución, o soluciones, de la misma. La otra cuestión es que la primera aproximación esté suficientemente cercana a la solución o soluciones. Ambas cuestiones tendrán su oportuna justificación en los próximos párrafos. Ahora nos ocuparemos del concepto de "puntos fijos" de una función, cuestión que nos permitirá resolver otros tipos de ecuaciones y avanzar en dicha justificación.