Inecuaciones

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	Análisis

1. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Recuerdas como se resuelven ecuaciones de segundo grado? Seguro que sí, se utiliza la fórmula :

Por ejemplo, x^2 - 2x -3 = 0, tiene soluciones x = -1 y x = 3. Y una vez halladas, recuerda que la ecuación x^2 - 2x -3 = (x+1)*(x-3)

Para resolver las inecuaciones de segundo grado con una incógnita necesitaremos descomponer en factores como en el ejemplo. También nos ayudará mucho saber representar la función en unos ejes cartesianos, la gráfica hará evidente si hemos calculado bien las soluciones de la inecuación.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

10.-Resuelve las ecuaciones de segundo grado que te propongo y escríbelas como producto de factores.

                    a) x^2 + x - 6
                b) x^2 - 4
                  c) x^2 + 4
                    d) 4x^2 + 3x -3
                  e) -x^2 - x + 3
La escena te ayudará a comprobar si has encontrado bien las soluciones.

Las inecuaciones de segundo grado son expresiones como: ax^2 + bx +c >0. O bien a*(x-r1)*(x-r2) > 0. Los signos de desigualdad pueden ser cualquiera de lo cuatro que ya conocemos.

2. SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

La solución de la inecuación nos la proponemos encontrar desde la expresión a*(x-r1)*(x-r2). En primer lugar el coeficiente a puede eliminarse:
si a>0, a*(x-r1)*(x-r2) >0 equivale a (x-r1)*(x-r2)>0. Si a <0, a*(x-r1)*(x-r2) >0 equivale a (x-r1)*(x-r2) < 0. I viceversa, si a>0,
a*(x-r1)*(x-r2) < 0 equivale a (x-r1)*(x-r2)< 0. Si a <0, a*(x-r1)*(x-r2) < 0 equivale a (x-r1)*(x-r2) > 0, recuerda que al trasponer factores negativos
cambia el signo de la desigualdad.
Por tanto tenemos que resolver un par de situaciones. La primera cuando el producto de los dos factores de grado uno tenga que ser positivo, es decir, mayor
que 0. La segunda, cuando el producto de los dos factores tenga que ser negativo.

Primera situación: (x-r1)*(x-r2) > 0
Los dos factores han de tener el mismo signo, (x-r1) > 0 junto con (x-r2) > 0 o bien (x-r1) < 0 junto con (x-r2) < 0. En ambos casos hemos reducido el problema
a uno ya conocido, sistema de dos inecuaciones con una incógnita. Lo resumimos en el siguiente cuadro.

(x-r1)*(x-r2) > 0		(x-r1)*(x-r2) > 0
(x-r1) > 0	(x-r2) > 0	(x-r1) < 0	(x-r2) < 0
x > r1	x > r2	x< r1	x < r2

En este caso puedes usar la escena de la página anterior, puesto que se trata de un sistema de inecuaciones de primer grado.

Segunda situación: (x-r1)*(x-r2) < 0
En este caso los factores tienen que ser de signo contrario para que su producto sea negativo, es decir si (x-r1)>0, entonces (x-r2) <0. Y, por el contrario, si (x-r1)< 0, entonces (x-r2) > 0, situación que resumimos en el siguiente cuadro.

(x-r1)*(x-r2) < 0		(x-r1)*(x-r2) < 0
(x-r1)>0	(x-r2) <0	(x-r1)< 0	(x-r2) > 0
x > r1	x < r2	x < r1	x > r2

También en la página anterior encontraras una escena apropiada para resolver este sistema de inecuaciones de primer grado con signos distintos.

Pero habíamos dicho que la representación gráfica de la función de segundo grado ayudaría mucho a interpretar las soluciones de nuestra inecuación.

Activa las siguientes escenas para comprobarlo.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

11.- Con las ecuaciones propuestas en el ejercicio 10, en tu cuaderno de trabajo idea algunas inecuaciones. Resuélvelas y comprueba con las escenas anteriores tus respuestas.

	Isabel Gorriz Vidal

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009

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