Análisis

ÍNDICE
 

0.Introducción

1.Objetivos

2.Dominio y recorrido

3.Cortes con los ejes y simetría

4.Continuidad y derivabilidad

5.Monotonía y extremos

6.Curvatura y puntos de inflexión

LA FUNCIÓN PARABÓLICA
4.CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

 

Una función f es continua continua en x=p si para valores de x que difieren poco de p, también los correspondientes f(x) difieren poco de f(p), es decir, si límite de f(x) cuando x tiende a p es f(p).

Una función f es derivable en x=p si existe f'(p) (que es el límite de (f(x)-f(p)) / (x-p) cuando x tiende a p).

La recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de abscisa x=p tiene pendiente con valor f'(p).

Por tratarse de una función polinómica, la función parabólica es continua y derivable en todo su dominio (que es IR), es decir, para todo valor x real.

Ejercicio 3
Escena 3

a) Comprueba con la escena 3 dando diferentes valores a los coeficientes a, b y c que toda función parabólica es continua.

b) Comprueba con la misma escena que toda función parabólica que consideres poseerá derivada f'(x) para cualquier x real que elijas.

c) Halla en tu cuaderno f '(x), f '(-2),f '(0) y f '(2) para cada una de las siguientes funciones:

f(x)=5x2+2x-1

f(x)=-3x2-2x+2

f(x)=-5x2

d) Observa en la escena 3 la recta tangente a la parábola en el punto de abscisa x=-2, x=0 y x=2 en cada uno de los casos del apartado c).

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

 

5.MONOTONÍA Y EXTREMOS

 

MONOTONÍA

Recuerda que una función es monótona creciente en un intervalo si para los x de dicho intervalo.
De modo análogo se dice que una función es monótona decreciente en un intervalo si
para los x de dicho intervalo.

Cuando las desigualdades se convierten en > o <, el crecimiento o decrecimiento es estricto.

Así que para cualquier función parabólica f(x)=ax2+bx+c, al ser f'(x)= 2ax+b, se tendrá que:

  f es estrictamente creciente en: f es estrictamente decreciente en:
CASO a<0
CASO a>0

EXTREMOS RELATIVOS

Se dice que un punto (p,f(p)) es un mínimo relativo de una función f (o que f alcanza mínimo relativo en x=p) si existe un entorno reducido de modo que para todo x de dicho entorno se cumple que f(p)<f(x) o f(p)=f(x)

Se dice que un punto (p,f(p)) es un máximo relativo de una función f si existe un entorno reducido de modo que para todo x de dicho entorno se cumple que f(p)>f(x) o f(p)=f(x)

EXTREMOS ABSOLUTOS

Se dice que un punto (p,f(p)) es un mínimo absoluto de una función f (o que f alcanza mínimo absoluto en x=p) si para todo x del dominio de f, se cumple que f(p)<f(x) o f(p)=f(x)

Se dice que un punto (p,f(p)) es un máximo absoluto de una función f si para todo x del dominio de f, se cumple que f(p)>f(x) o f(p)=f(x)

CÁLCULO DE EXTREMOS

En la práctica, para calcular los extremos de una función f se utiliza el siguiente resultado:

Si f'(p)=0 y f''(p)<0 , f tiene un máximo en x=p

Si f'(p)=0 y f''(p)>0 , f tiene un mínimo en x=p

por lo que para f función parábolica, como f'(-b/(2a))=0 y f''(-b/(2a))=2a (de hecho f''(x)=2a) se tendrá que:

todas funciones parabólicas con a>0 poseen un mínimo absoluto en x=-b/2a, es decir:

el punto

es el mínimo absoluto de f en el caso a>0, y es el máximo absoluto de f en el caso a<0. Dicho punto es al que llamamos vértice de la parábola.

Y la ordenada de dicho punto y el hecho de fijarnos en si la parábola se abre hacia arriba (a>0) o hacia abajo (a<0) nos permiten deducir el recorrido de f que ya se expuso en el punto 2 de esta Unidad Didáctica.

Ejercicio 4
Escena 4

a) Halla en tu cuaderno las zonas de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones:

f(x)=2x2-10x+12

f(x)=-x2-1

f(x)=-2x2+4x-4

Usando la escena 4 comprueba tus resultados.

b) Calcula los extremos de las funciones del apartado anterior usando el resultado del punto 5 de esta Unidad para calcular extremos, anotando todo en tu cuaderno y comprobando después en la escena las soluciones.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
  Raquel Lavilla Ballestín
 
 Ministerio de Educación. Año 2009