Ejemplo:

Se sabe que, de los 65 alumnos del sexto curso, a 30 les gusta la Biología, a 40 las Matemáticas y a 10 les gustan ambas asignaturas. a) ¿A cuántos alumnos les gusta al menos una de esas asignaturas? b) ¿A cuántos les gusta solamente la biología? c) ¿A cuántos les gusta exactamente una de esas dos? d) ¿A cuántos alumnos no les gustan ninguna de esas asignaturas?

Resolución:

Los datos dados son los mismos que en el ejemplo anterior. Reproducimos a la derecha el diagrama de Venn que representa el enunciado. Habíamos escrito que:

  el conjunto universal es U = {x / x es alumno del sexto curso},

B={x U/a x le gusta la Biología} y M={x U/a x le gustan las Matemáticas}.

Entonces, según el enunciado, | U | = 65, | B | = 30, | M | = 40, | B M | = 10, | B – M| = 20, | M – B| = 30, | M B | = 60 y  | (B M)^l  | = 65 – 60 = 5. 

Respondamos ahora a las preguntas hechas:

a) A los alumnos a los que les gusta al menos una de las dos asignaturas, les gusta, o bien la Biología, o bien las Matemáticas o ambas, es decir, esos alumnos deben pertenecer a la unión de dichos conjuntos. Por tanto, a 60 alumnos les gusta al menos una de esas asignaturas.

b) Un alumno al que sólo le guste la Biología debe pertenecer al conjunto B – M, por tanto, a 20 alumnos les gusta sólo la Biología.

c) Un alumno al que le gusta únicamente una de esas asignaturas pertenece a B – M o bien a M – B, es decir, es un alumno de (B – M)   (B – M). Ese conjunto también se puede escribir (B M) – ( B M). Si sumamos 20 +30, tenemos que a 50 alumnos les gusta sólo una de esas dos  asignaturas.

d) Los alumnos a los que no les gusta ninguna de esas asignaturas son los que están en el conjunto complementario de la unión de dichos conjuntos. Por tanto, sólo a 5 alumnos no les gusta ni la Biología ni las Matemáticas.

Sonia Margarita Armas Gómez

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2011