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Combinatoria. Combinaciones. Binomio de Newton. |
| 4º de E.S.O. (Previo al concepto de Probabilidad) | |
Combinaciones.
Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m, (m<=n) a las distintas agrupaciones de m elementos de manera que:
- En cada grupo entren m elementos distintos
- Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.
El número de combinaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m lo notaremos Cn,my se calcula:
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Se puede observar fácilmente que:
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EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos):
| - Una persona está interesada en contar todos los posibles resultados en el juego de la LOTERÍA PRIMITIVA. ¿ Podrías ayudarle? | Sol: C49,6 = 13983816 boletos diferentes (difícil acertar ¿no?) |
| - Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 4 entradas. ¿ De cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película ? | Sol: C7,4 = 35 formas distintas de reparto |
| - En una clase de 30 alumnos se quiere elegir un grupo de 5 alumnos para participar en un concurso. ¿ De cuántas formas podría hacerse ? | Sol: C30,5 = 142506 posibles grupos |
En la siguiente escena; puedes observar la fórmula general para el cálculo de combinaciones, así como una calculadora con la que te aconsejo que practiques algunos casos particulares. Si sitúas el control "ejemplo " en la posición "1"; aparece un problema clásico de combinaciones. Se trata de trazar todos los segmentos posibles que unan " n " puntos no alineados. Para asegurar esto último y sin que ello suponga ninguna pérdida de generalidad para el problema, he colocado los puntos como si fuesen los vértices de un polígono regular.
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13. Coloca el control "ejemplo " en la posición "1". Por defecto aparecen 5 puntos que vas a unir por segmentos. Pon el control "traza segmentos" en "1" y cuenta los segmentos. Si vas aumentando "traza..." y contando los segmentos; al agotar el procedimiento y sumar tus resultados, verás que la cifra total coincidirá con el número combinatorio C(5,2). |
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| 14.. Aumenta el control "n" al número que desees y repite la experiencia. ( La escena tiene una limitación de 15) ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO. | |
| 15.. Intenta deducir una fórmula general que nos permita calcular el número de diagonales de cualquier polígono regular. ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO. | |
Primeras propiedades algebraicas de los números combinatorios:
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 b) Muy fácil. Aplica la definición |
 c) Fácil, fácil,... |
 d) Muy fácil. Aplica la definición e
intercambia de lugar el denominador. ¿ verdad que sí? |
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Binomio de Newton.
| Una de las aplicaciones algebraicas más interesantes de los números combinatorios. Permite el desarrollo de cualquier potencia de un binomio identificando los coeficientes de las respectivas potencias.. |
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| Como aplicación de las fórmulas anteriores observa los siguientes ejemplos prácticos. | |
Ejemplos:
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Nota:
Si no disponemos de calculadora en un momento dado y necesitamos el desarrollo de alguna potencia de un binomio; recuerda que el triángulo de Tartaglia ( o de Pascal ) puede sernos de gran ayuda.
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Grado 0 1 Grado 1 1 1 Grado 2 1 2 1 Grado 3 1 3 3 1 Grado 4 1 4 6 4 1 Grado 5 1 5 10 10 5 1 ................................................................................. Así sucesivamente........................................................... ...................................................................................
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16.. Calcula el desarrollo de las siguientes potencias de binomios (3x-y)5 , (a2+b)4 y (x-1/x)3. ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO.
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| Juan Jesús Cañas Escamilla | ||
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2005 | ||
a) Muy fácil de demostrar. Déjate llevar por
la definición y ten en cuenta que 0!=1
e) Difícil. Como dijo Fermat, La
demostración no cabe en este espacio. Te invito a que lo intentes en tu
cuaderno
