EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DE ÁREAS
Análisis
1. EL ÁREA BAJO UNA CURVA
Dada una región del plano, su área puede aproximarse por medio de regiones poligonales inscritas o circunscritas a la misma. Este procedimiento ya era conocido por los griegos.

Estamos interesados en calcular el área del recinto amarillo acotado por una línea azul (llamado trapecio mixtilíneo), limitado por una curva (gráfica de una función continua), el eje de abscisas y las rectas verticales x=a y x=b, con a y b dos valores reales. Arquímedes (287-212 a.C.) ya obtuvo resultados importantes como el cálculo del área encerrada por un segmento parabólico.

1.- Observa el siguiente trapecio mixtilíneo. Si tuvieras que elegir un polígono para aproximar el área del recinto naranja, ¿cuál elegirías?. ¿Por qué?.
Si aumentas en una unidad el  paso verás una propuesta.

2.- Analiza las ventajas e inconvenientes de la elección de un rectángulo para aproximar el área. Compara con la respuesta de la actividad 1.

3.- Una vez dado este primer paso ¿Qué harías para mejorar nuestra primera aproximación?

Si aumentas sucesivamente  el paso podrás ver una solución.
Cuantos más rectángulos construyamos mejor será la aproximación. El proceso llevado a cabo es el siguiente:
  1. Al intervalo [a,b] se le subdivide en subintervalos que forman las bases de los rectángulos.
  2. Al realizar la subdivisión del intervalo aparece un conjunto de números reales ordenados y finito
    {x0, x1, x2, x3...,xn} que se llama partición del segmento [a,b].
  3. Cada partición compuesta por n+1 puntos determina n rectángulos. En nuestro caso las bases tienen la misma longitud, aunque en general no es necesario.
  4. Se obtienen los rectángulos inscritos dentro del recinto mixtilíneo, su calculan sus áreas y se obtiene la suma final.
2. APROXIMACIONES POR DEFECTO
4.- Calcula la superficie del área gris, para sucesivas particiones del intervalo [a,b]. En la parte derecha de la escena podrás comprobar las respuestas.
El control azul te puede ayudar a calcular  las sucesivas alturas.
Para conocer las soluciones cambia a 1 el parámetro solución en cada paso.

5.- En cada uno de los subintervalos de la partición ¿Cómo se ha seleccionado el valor de la altura de los rectángulos?. ¿Seguirá el mismo criterio en todas las regiones?.

6.- Te proponemos otro trapecio mixtilíneo. Repite el proceso y extrae conclusiones

Se llama suma inferior de Riemann de f asociada a la partición P={x0, x1, x2, x3...,xn} a la siguiente expresión

donde mi es el mínimo de los valores de la función f en el subintervalo [xi-1,xi].

3. OTRAS POSIBLES APROXIMACIONES
En la actividad 2 se han realizado aproximaciones de manera que el área obtenida fuese menor que la del recinto mixtilíneo. Esta no tiene por qué ser la mejor aproximación posible.
 

7.- Deduce otras posibilidades, siguiendo la misma técnica, para aproximar el área del recinto amarillo, utilizando rectángulos u otras figuras que te parezcan más adecuadas. Analiza las ventajas e inconvenientes de cada sistema.

Modificando el parámetro opción puedes ver dos nuevas propuestas. El parámetro paso nos permite realizar sucesivos refinamientos de la partición.

Se llama suma superior de Riemann de f asociada a la partición P={x0, x1, x2, x3...,xn} a la siguiente expresión

donde Mi es el máximo de los valores de la función f en el subintervalo [xi-1,xi].
8.- Calcula las sucesivas áreas de las zonas grises para cada partición.

9.- Escribe como sería la fórmula general que permita calcular un área mediante la regla de los trapecios compuesta.

10.- ¿Cuántas veces tendremos que hacer el proceso para obtener el área del recinto?.

11.- ¿Cómo evolucionan las superficies grises cuando hacemos más fina la partición?.

12.- Si la base de los rectángulos es cada vez más pequeña, ¿cómo evolucionarán las sumas superior e inferior de Riemann?.

Enrique Martínez Arcos
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

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