COORDENADAS DE UN VECTOR
Geometría
9. COORDENADAS DE UN VECTOR

a) Cualquier vector v se puede poner como combinación lineal (C.L.) de otros dos x e y de distinta dirección.

v = ax + by

Siendo a y b números

b) Esta C.L. es ÚNICA. Es decir, dados x, y y v, sólo existen un par de números a y b que cumplen la igualdad anterior.

c) Observa también que los propios vectores x e y se pueden poner como C.L. de ellos mismos:

x = 1.x + 0.y

 y = 0.x + 1.y

d) Dos vectores x, y, con distinta dirección, forman una base, pues cualquier vector del plano se puede poner como C.L. de ellos.

e) Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal y si, además, tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal.

Base ORTOGONAL

x ^ y  

Base ORTONORMAL

x ^ y   ;  |x| = 1; |y| = 1

f) Cualquier vector del plano, v, se puede poner como C.L. de los elementos de una base B(x,y) de forma única: v = ax + by
A los números (a,b) se les llama coordenadas de v respecto de B, y se expresa así: v(a,b) o bien v = (a,b)

Ejemplo:

En esta escena tenemos la base ortogonal B(x,y) y el vector z, que en principio tiene de coordenadas (2,3) respecto de dicha base, ya que   z = 2x + 3y 

Cambiando los valores de a y b puedes ver las distintas coordenadas que va teniendo los distintos vectores  z y la C.L. de x e y que nos da z, pues  z = ax + by

Representa al menos los vectores de coordenadas: 
(-2, -3)  (1, 1)  (1, -1)
(0.5, 2)  (-1, 2.5)  respecto de la base B(x,y)
EJERCICIO 11

Halla las coordenadas del vector x respecto de la base B(u,v)

1.- Hay que formar un paralelogramo con las prolongaciones de los vectores u y v (Variando a y b), de tal forma que x sea una diagonal del mismo. 

Por tanto esta vez, te conviene prolongar u en el sentido opuesto, o sea en el de -u, y v en su mismo sentido. 

2.- A continuación tienes que trazar paralelas a u y v desde el extremo de x, A, para completar el paralelogramo. 

3.- Escribe en tu cuaderno x como C.L. de u y v
4.- Escribe las coordenadas de x respecto de la base B(u,v)
10. OPERACIONES CON COORDENADAS
a) SUMA: Comprueba en la siguiente escena como se suman las coordenadas de los vectores respecto de la base ortonormal B(x,y)

u = (-2,3)

v = (5,2)

u + v = (-2+5,3+2) = (3,5)
Mueve con el ratón los extremos de u y/o v para comprobar la suma para otras coordenadas.

Por ejemplo si u=(-4,0) y v=(4,3) 

¿Cuáles son las coordenadas de u+v?
b) COMBINACIÓN LINEAL: Comprueba con la escena que viene a continuación, cómo se obtienen las coordenadas de la C.L. de dos vectores respecto de la base ortonormal B(x,y)
Cambiando los valores de a y b, dibuja el vector  
1.5u + 2v 

En este caso tenemos: 
1.5u + 2v = 
1.5(-2,2)+2(-3,-1)= 
(-3,3) + (-6,-2) = 
(-3-6, 3-2) = 
(-9,1) 

Este resultado lo puedes ver en la escena, si haces a=1.5 y b=2 

¡Fíjate bien en el dibujo de los vectores para comprobar sus coordenadas!
EJERCICIO 12

1.- Calcula en tu cuaderno las coordenadas, respecto de la base B(x,y), de los vectores: 

-u -v 2u - 1.5v -1.5u + v 0.4u + 0.3v

Siendo u y v los vectores de la escena anterior, o sea u(-2,2) y v(-3,-1) 

2.- Compruébalo después cambiando a y b, según convenga, en la escena anterior. 

3.- Puedes hallar otras combinaciones lineales que tu quieras y comprobar los resultados en la escena.
Ángela Núñez Castaín
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

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