COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Geometría
6. SUMA Y RESTA DE VECTORES EN UN PARALELOGRAMO
Si colocamos u y v con origen común y completamos un paralelogramo: 
  • La diagonal cuyo origen es el de u y v es el vector suma, u+v
  • La diagonal que va del extremo de v al extremo de u es u-v

Para entenderlo mejor recuerda el primer método de sumar vectores y la igualdad de vectores:

u+v = AB + BC = AC = u+v u-v = u+(-v) = DC + CB = DB = u-v
1.- Arrastra con el ratón el punto rojo que aparece en la escena para dibujar el vector u
  2.- Arrastra de nuevo el punto inical rojo para dibujar otro vector v

3.- Verás que se han dibujado además dos vectores paralelos a los anteriores para formar un paralelogramo

4.- Si pulsas ahora el control llamado suma sucesivas veces irá apareciendo el vector u+v, dentro del paralelogramo
5.- Y si pulsas el control llamado resta sucesivas veces irá apareciendo el vector u-v, dentro del paralelogramo. En todos los casos puedes ver las componentes de los vectores u, v, u+v y u-v en la parte inferior de la escena.

6.- Demuestra que has aprendido a sumar y restar vectores, dentro de un paralelogramo, efectuando la suma y resta de los siguientes pares de vectores, dibujándolos en tu cuaderno y calculando las coordendas resultantes. Después puedes comprobar tus cálculos y dibujos en la escena anterior:

u=(4,-3) v=(-5,-1)
u=(1,3) v=(7,-2)
u=(-8,0) v=(0,-3)
u=(-7,-2) v=(2,2)
7. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
En la escena siguiente se van a dibujar los vectores u = 4x + 2y, y v = -2x + y
Se dice entonces que los vectores u y v son combinación lineal de x e y.
Veamos cómo:
1.- Cambia el valor de n a n=4. Así se obtiene el vector 4x 

2.- Cambia el valor de m a m=2. Así se obtiene el vector 2y 

3.- Arrastra el punto B, trazando una paralela al vector y 

4.- Arrastra el punto C, trazando una paralela al vector x
5.- Prolongando estas paralelas suficientemente obtienes un paralelogramo cuyos lados son los vectores 4x y 2y. Arrastra el punto A para dibujar la diagonal que representa al vector u = 4x + 2y 

6.- Ahora le das a n = -2 para dibujar el vector -2x 

7.- Arrastra el punto D, trazando una paralela al vector y 

8.- Arrastra el punto E, trazando una paralela al vector x 

9.- Prolongando estas paralelas suficientemente obtienes una paralelogramo cuyos lados son los vectores -2x e y. Arrastra el punto A, de nuevo, para dibujar la diagonal que representa al vector v = -2x + y
8. CÓMO EXPRESAR UN VECTOR COMO COMBINACIÓN LINEAL DE OTROS DOS
Observa cómo expresamos el vector v como combinación lineal de x e y: 
1.- Colocamos x, y y v con el origen común en el punto P, para ello pulsa en los botones inferiores para dar los valores n=1, m=1, p=1

2.- Desde el extremo de v trazamos primero una paralela al vector x, y luego una paralela al vector y 

3.- Prolongamos los vectores x e y, cambiando los valores de n y m, hasta que corten a las paralelas

4.- Ya tenemos el paralelogramo, donde   v = nx + my estos es, ya tenemos escrito v como combinación lineal de x e y 
5.- En nuestro ejemplo ha de quedar  v = 3x + 2.5y
EJERCICIO 10
Este ejercicio es similar al ejemplo anterior, sólo que ahora las paralelas a los vectores no están prefijadas. 

Hay que escribir el vector x como combinación lineal de u y w. 
1.- Variando los valores de n, m y p coloca los tres vectores con el origen común en el punto A. 

2.- Desde el extremo de x traza las paralelas a u y w (con cuidado, mira bien los cuadritos) 

3.- Prolonga u y w hasta formar el paralelogramo, cambiando los valores de n y m. 

4.- Escribe en tu cuaderno la combinación lineal, o sea  x = nu + mw sustituyendo n y m por los valores obtenidos.
Ángela Núñez Castaín
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

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