Dilatación

	Transformaciones de funciones: k·f(x), f(x·h)
	Análisis

Transformación f(x) →k·f(x)

Vamos a estudiar que sucede con una función cuando multiplicamos los valores de la función por un valor constante k. Lo haremos en varios pasos.

Primero estudiaremos el caso k>0.

Modifica los valores de k y observa qué relación hay entre la función inicial (color azul) y la modificada (color verde)

También puedes mover el punto rojo sobre el eje OX y te aparece en pantalla el valor de las ordenadas correspondientes. Si te fijas siempre guardan como proporción el valor de k

Prueba a dar al parámetro k los valores k=2, 3, 4 y 5

Fíjate lo que pasa tomando de referencia algunos puntos concretos. Por ejemplo toma los puntos donde la función alcanza sus máximos y sus mínimos. También son interesantes los puntos donde la función corta al eje OX.

Repite el proceso dando a K valores menores que 1: k=0.5, 0.25 Observa los mismos puntos que antes y saca tus conclusiones.

Se puede observar que todas las ordenadas quedan multiplicadas por k, así pues la gráfica de la función queda dilatada respecto a las ordenadas permaneciendo fijos los puntos en los que la función corta al eje OX.

Ejercicio 12: Dibuja en tu cuaderno de trabajo la función y=x²-2x. A partir de ella dibuja, sin tabla de valores, la gráfica de las funciones:

y=2(x²-x)
y=(x²-x)/2

Ejercicio 13: De una función y=f(x) se sabe que corta a los ejes en los puntos A(-1,0), B(2,0), C(5,0) y D(0,3). También se sabe que tiene un máximo relativo en el punto P(1,6) y un mínimo relativo en Q(3,-2). Su dominio son todos los números reales. Se pide que estudies los mismos datos de las funciones y=2f(x), y=f(x)/3

Veamos el caso k<0.

Vamos a hacer el mismo estudio que hemos hecho antes. Modifica los valores de k, pero dando valores negativos

Asigna los mismos valores que antes pero negativos

k= -2,-3, -4

k= -0.5, -.25

En este caso tenemos que los valores de las ordenadas que dan multiplicadas por el valor de k, pero al ser negativo cambian de signo y la parte de gráfica que permanecía por encima del eje OX pasa a estar por debajo y viceversa además de la dilatación que hemos visto antes.

Ejercicio 14: ¿Qué pasa en el caso particular k=-1 , es decir de y=-f(x)? Aplícalo para el caso f(x)=sen(x), y dibuja en tu cuaderno. de manera aproximada, la función y=-sen(x)

Ejercicio 15: Tomando como referencia la función y=2^x, dibuja con todo lo que has visto hasta ahora la función y=-2^x-1+3.

Ejercicio 16: Se sabe que la función y=f(x) es una hipérbola de asíntotas x=1, y=-2. Razona cuáles serán las asíntotas de la función y=3·f(x). ¿Y de la función y=f(x-2)+3

Transformación f(x) →f(h·x)

Veremos ahora qué sucede cuando en lugar de multiplicar el valor de la función por una constante k, multiplicamos la variable. Tratamos de encontrar la relación entre las gráficas de las funciones y=f(x) y f(h·x)

Modifica los valores de h. .Prueba con h=2, 3, 4. Observa cómo queda modificada la gráfica inicial

Haz lo mismo con valores menores que 1 : h=0.5, 0.25, 0.1

Se puede observar que la gráfica de la función queda dilatada respecto a las abcisas, permaneciendo fijos los puntos en los que la función corta al eje OY.

Ejercicio 17: Prueba a dar valores negativos a h y escribe en tu cuaderno lo que sucede.

Ejercicio 18: Aplica el caso anterior para el caso h=-1. Escribe qué relación tienen las gráficas de y=f(x) y de y=f(-x). ¿Qué sucederá con las funciones y=x², y=cos(x)?

Puedes comprobar las soluciones de los ejercicios anteriores en la escena siguiente:

Introduce en la parte izquierda la función que tomas como inicial y en la parte derecha la modificada y compara con lo que has dibujado en tu cuaderno

	Francisco Javier Medrano Sánchez

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009