Transformaciones de funciones: |f(x)|, f(|x|)
Análisis
 
Transformación f(x) →|f(x)|

Vamos a estudiar que sucede con una función cuando representamos el valor absoluto de una función, y su relación con la gráfica de la gfunción inicial

f(x)=|x|

El valor absoluto de un número se define como su valor numérico sin su respectivo signo. Así a los valores positivos no los modifica y a los negativos les cambia cambia de signo.

La función valor absoluto se puede escribir como una función definida a trozos de la siguiente manera

En la escena tienes representada la función y=x. Si quieres conocer la gráfica de la función y=|x| pulsa el control v_absoluto, y comprobarás los cambios con respecto a la función inicial.

Modifica la posición del punto situada en la escena para que veas los valores de la función y=x e y=|x| según sea el valor de x negativo o positivo

La gráfica de y=|x| queda toda ella por encima del eje OX, simetrizando aquellas partes de la gráfica de y=x que estaban por debajo del eje OX, pasándolas a positivas.  

 

y=|f(x)|
Comprobemos que lo que ha sucedido con la gráfica de la función y=x, sucede con todas las funciones. Es decir, si aplicamos el valor absoluto a una función, su gráfica quedará toda por encima del eje OX, simetrizando, respecto a OX, la gráfica que estaba por debajo de OX.

Puedes comprobarlo con seis funciones distintas, que se eligen con el control función. Igual que en la escena anterior puedes pulsar el control V_absoluto para ver al gráfica de y=|f(x)|

Si mueves el punto verás los valores de las funciones estudiadas. Comprueba que siempre son iguales salvo el signo cuando la función f(x) es negativa

Ejercicio 19: Dibuja en tu cuaderno la gráfica de la función y=sen(x), y con los mismos ejes de coordenadas dibuja la gráfica de la función y=|sen(x)|

Ejercicio 20: ¿Qué crees que pasará con la gráfica de la función y=|ex|? ¿Y con la función y=x2?

Ejercicio 21: De una función y=f(x) se sabe que su dominio es Dom f =[-2,2] y que su conjunto imagen es Im f =[-3,4]. Razona cómo será el dominio y el conjunto imagen de la función y=|f(x)|

Ejercicio 22: Conocida la gráfica de la función y=f(x) dibuja en tu cuaderno, de manera aproximada, las gráficas de las funciones:
a) y= f(x-2)

b) y= f(x)-3

c) y= 2·f(x)

d) y= |f(x)|

e) y= |f(x-1)+2)|



Transformación f(x) →f(|x|)
Intenta investigar la relación entre la función y=f(x) y la función y=f(|x|). Para ello debes ayudarte de algún ejemplo que estudiarás a través de su tabla de valores.

Ejercicio 22. Tomemos la función y=2x, y vamos a compararla con la función y=2|x|

Completa la siguiente tabla de valores y representa gráficamente en tu cuaderno ambas funciones.

x -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4   5
f(x)=2x                      
f(x)=2|x|                      

Ejercicio 23. Repite el mismo proceso para las funciones f(x)=x2-4x y la f(|x|)=|x|2-4|x|

x -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4   5
f(x)=x2-4x                      
f(x)=|x|2-4|x|                      

¿Qué conclusiones sacas? Escríbelas en tu cuaderno. ¿Qué pasaría a la función y=x2 si le aplicásemos esta transformación?

 

Puedes comprobar las soluciones de los ejercicios anteriores en la escena siguiente:
Introduce en la parte izquierda la función que tomas como inicial y en la parte derecha la modificada y compara con lo que has dibujado en tu cuaderno




         
           
  Francisco Javier Medrano Sánchez
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009