TEOREMA  DE BOLZANO
Análisis
1. ENUNCIADO DEL TEOREMA
Teorema de Bolzano: Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos a y b, entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que se anula la función. 

 

2.  JUGANDO CON EL TEOREMA. EJERCICIOS.

En la primera escena se pueden representar gráficamente (en color rojo) varias funciones polinómicas de grado menor o igual que cuatro, exactamente del tipo f(x)= (px4+qx3 +rx2 +sx+t)/40, donde los parámetros p,q,r,s y t se han elegido de forma que tomen como valores números enteros comprendidos entre -15 y 15. (A veces deberás cambiar la escala para ver mejor lo que quieres estudiar).

 

Los parámetros a y b situados a la derecha de x sirven para ir variando los extremos del intervalo.

El punto P (en color rojo) del que podemos ver sus coordenadas, recorre la gráfica de f(x) cuando vamos variando x. También podemos ver dos segmentos verticales (de color azul) que unen el punto (a, 0) con el (a, f(a)) y el (b, 0) con el (b, f(b)) apareciendo los dos puntos de la gráfica de la función (a los que llamaremos Q y R respectivamente)    en color azul, junto a sus coordenadas.

 
Todas las funciones representadas en esta escena son derivables y por tanto continuas en toda la recta real, en particular en cualquier intervalo [a, b] luego cumplen la primera hipótesis del teorema de Bolzano. 

 
1.- Prueba con varias funciones que cumplan las hipótesis del teorema en distintos intervalos y verás que cumplen la tesis, es decir, que su gráfica toca al eje horizontal en algún punto c del intervalo abierto.

Naturalmente, esto no demuestra el teorema.

2.- Representar gráficamente la función f(x)=(x4 +4x3 -4x2 +4x-5)/40, (hacer p=1, q=4, r=-4, s=4, t=5), ¿cumple las hipótesis del teorema de Bolzano en el intervalo [-3, 2]?. En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c de (-3, 2) en el que se anula la función?. Comprueba el resultado analíticamente.

El punto c puede no ser único, según veremos en el siguiente ejemplo:

3.- La función f(x)=(x4 +3x3 -4x2 -12x)/40 cumple las hipótesis del teorema en el intervalo [-4,1], ¿en qué punto (o puntos) del intervalo (-4,1) se anula?. Comprueba el resultado analíticamente.

Si no se cunplen las hipótesis del teorema, la tesis puede cumplirse o no. Veamos un ejemplo de cada una de las dos situaciones:

4.- La función f(x)=(x4 -4x2)/40 no cumple, en el intervalo [-3,3] una de las hipótesis del teorema de Bolzano, ¿cuál?, ¿cumple la tesis?, ¿en qué punto (o puntos) del intervalo (-3,3) se anula. Comprueba el resultado analíticamente.

5.- La función f(x)=(x4 +3x2 +15)/40 no cumple, en el intervalo [-2,2] una de las hipótesis del teorema de Bolzano, ¿cuál?, ¿cumple la tesis?. Comprueba el resultado analíticamente.

6.- Has visto las raíces de varios polinomios de grado 4, ¿cuántas raíces reales tiene uno de estos polinomios? ¿Y los polinomios de grado 3?. Habrás observado que los de grado 4 tienen un número par de raíces reales y los de grado 3 un número impar, aunque ¡cuidado! porque algunas raíces son dobles.
La segunda escena es análoga a la primera, con la diferencia que en ella se pueden representar gráficamente algunas funciones racionales: todas aquellas de la forma f(x)=(px+q)/(rx2 +sx+t), siendo p, r, s y t números enteros comprendidos entre -1 y 1.

 

 Esta escena nos permite estudiar otras dos posibilidades:aquellas en las que falta la hipótesis de la continuidad
 
Como trabajamos con funciones elementales, solamente dejan de ser continuas donde no están definidas.

 
1.-Representar gráficamente la función f(x)=(x+4)/x. (Hacer p=1, q=4, r=0, s=1, t=0), ¿qué hipótesis del teorema de Bolzano no cumple en el intervalo [-3,3]?, ¿cumple la tesis?

2.- Representar gráficamente la función f(x)=x/(x2 -1). (Hacer p=1, q=0, r=1, s=0, t=-1), ¿qué hipótesis del teorema de Bolzano no cumple en el intervalo [-2,2]?, ¿cumple la tesis?. En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c de (-2,2) en el que se anula?

 
3. APLICACIONES. PROBLEMAS RESUELTOS.
Tal como se dijo en la introducción, el teorema de Bolzano se usa fundamentalmente para hallar intervalos en los que haya una raíz de una ecuación (acotación de la raíz) con el fin de hallar un valor aproximado a éstas. He aquí unos ejemplos:
1.-Hallar cuatro intervalos de la recta real en cada uno de los cuáles haya una raíz del polinomio g(x)=x4-x3-13x2 +x+12.

Solución: La función g(x)=x4-x3-13x2 +x+12 cumple, por ejemplo, que g(-4)=120>0; g(-2)=-18<0; g(0)=12>0; g(2)=-30<0 y g(5)=192>0, luego tiene una raíz en cada uno de estos intervalos: (-4, -2) (-2, 0) (0, 2) y (2, 5), teniendo en cuenta que ni -2 ni 0 ni 2 son raíces de la ecuación. 

Se pueden comprobar estos resultados en la primera escena, ya que las raíces de la función g(x) y las de g(x)/40 coinciden. En la escena se puede comprobar que las raíces son -3, -1, 1 y 4; cada una de ellas está en un intervalo de los obtenidos como solución del problema.

Sabes que un número real positivo tiene dos raíces cuadradas pero si tuvieras que demostrarlo rigurosamente quizás tuvieras dificultades: sobre eso trata el próximo ejercicio.

2.- Demostrar que todo número real positivo tiene al menos una raíz cuadrada.

Solución: Sea n>0. Hemos de demostrar que existe un número real x tal que x2=n. Entonces x será la raíz cuadrada de n.

La ecuación x2=n es equivalente a la x2-n=0, luego hemos de demostrar que , si g(x)=x2-n, g(x) tiene alguna raíz real. Si n=0, tiene raíz, luego podemos suponer que n>0. Entonces g(0)=-n<0. Necesitamos, para cada n, un valor para el que g(x) sea positivo. Si n>1, ese valor es, por ejemplo n , ya que es g(n)= n2-n>0 y si 0<n<1, es, por ejemplo 1, ya que es g(1)=1-n>0 (por supuesto, 1 tiene raíz y se puede excluir).

Luego olvidándonos de los valores 0 y 1, 

Si n>1, g(0)=0-n<0 y g(n)= n2-n>0, luego n tiene una raíz en [0,n].

Si n<1, g(0)=0-n<0 y g(1)=1-n>0, luego n tiene una raíz en [0,1]. 

En la tercera escena está dibujada, en rojo, la función g(x)= x2-n (pudiéndose variar el valor de n). Las abcisas de los dos puntos de corte de la gráfica con el eje horizontal son las dos raíces de n.

Usando esta escena se pueden comprobar, fácilmente, los resultados hallados en la resolución del problema.

 

3.-Hallar la raíz cuadrada de 3 con una aproximación menor que una centésima.

Solución: Sea g(x)=x2-3. El número buscado es aquél para el que se anule g(x), luego vamos a buscar un intervalo de la recta real de manera que en uno de sus extremos g(x) tome un valor positivo y en el otro negativo.

Es g(1.7)=2.89-3<0 y g(1.8)=3.24-3>0, luego la raíz está en el intervalo (1.7, 1.8).

Nos fijamos en el punto medio del intervalo [1.7, 1.8] , es decir, en 1.75 y dividimos el intervalo [1.7, 1.8] en dos subintervalos iguales: el [1.7, 1.75] y el [1.75, 1.8]. Como g(1.75)=3.0625-3>0, nos quedamos con el subintervalo [1.7, 1.75] porque en sus extremos, g(x) tiene valores de signo opuesto. Luego la raíz está en el intervalo (1.7, 1.75), ya que no es 1.75.

Dividimos el nuevo intervalo en dos iguales: el [1.7, 1.725] y el [1.725, 1.75]. Como g(1.725)=2.975625-3<0, seguimos con el subintervalo [1.725, 1.75] porque en sus extremos, la función toma valores de signos opuestos. Luego la raíz buscada está en el intervalo (1.725, 1.75), ya que no es 1.725.

Dividimos el nuevo intervalo en dos iguales: el [1.725, 1.7375] y el [1.7375,1.75]. Como g(1.7375)=3.0229...-3>0, seguimos con el subintervalo [1.725,1.7375] porque en sus extremos, la función toma valores de signos opuestos. Luego la raíz buscada está en el intervalo (1.725, 1.7375), ya que no es 1.7375.

Por ejemplo, si tomamos para raíz de 3 el número 1.73125 (centro del intervalo), el error cometido es menor de 1.73125-1.725=0.00625, es decir, de una centésima. NOTAS:

En la tercera escena, haciendo n=3, a=1.7 y b=1.8 se vé que la raíz está en ese intervalo. Haciendo grande la escala (sobre 128) se puede apreciar que la raíz está más cerca de 1.7 que de 1.8, aunque no se puede aproximar más.

El interés del problema estriba en que podemos hallar una raíz cuadrada, con cierta aproximación, hallando valores de la función "elevar al cuadrado", (con la que es más fácil trabajar).

Sin embargo, en la era de los ordenadores, el interés del problema es sólo teórico, como aplicación del teorema de Bolzano.

 

MÉTODO DE LA BISECCIÓN.

La técnica que hemos usado para hallar la raíz cuadrada de 3, se llama método de la bisección y consiste en ir dividiendo cada intervalo en el que sabemos que está la raíz en dos subintervalos iguales y quedarnos con aquél en cuyos extremos la función toma valores de distinto signo; de esta manera, vamos hallando intervalos cada vez más pequeños en los que se encuentra la raíz.

Este método sirve también para demostrar el teorema ya que si seguimos el proceso de partición de los intervalos indefinidamente, el punto común a todos los intervalos (que existe) es la raíz buscada.  
       
           
  Valerio Chumillas Checa
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001