Recordarás que, si a y b son números reales, con a < b, el intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b, es decir, [a, b]= {x € R | a < = x < = b}.

También sabes que una función f(x) es continua en un punto x₀ € R si coincide el valor de la función en el punto x₀ con el límite de la función cuando x tiende a x₀ .

Intuitivamente, significa que los valores que toma la función en puntos próximos a x₀ están cerca del valor que toma en x_0.

Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en cada uno de sus puntos.

Intuitivamente, significa que la gráfica de la función en [a, b] no se corta, que se puede recorrer con un solo trazo.

Sea pues una función continua en un intervalo cerrado [a, b] de la recta real, es decir, su gráfica no se corta. Supongamos que f(a) y f(b) sean valores de distinto signo, (por ejemplo, f(a)>0 y f(b)<0), o lo que es lo mismo, que la gráfica de f(x) tenga un punto por encima del eje horizontal (el (a, f(a))) y otro por debajo (el (b, f(b)). Parece lógico pensar que la gráfica de f(x) corte al eje horizontal, o dicho de otra forma, que f(x) se anule en algún punto c del intervalo [a,b] y al no anularse en los extremos, debe hacerlo en el intervalo abierto (a,b).

Eso es precisamente lo que dice teorema de Bolzano: Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo, se anula en al menos un punto c del intervalo abierto (a, b).

El teorema no dice cuál es el punto c en el que se anula la función ni el número de puntos en los que se anula; tan sólo dice que se anula en algún (o algunos) punto del intervalo abierto.

El teorema de Bolzano se usa, sobre todo, para hallar aproximaciones a las raíces de las ecuaciones, es decir, a los ceros de las funciones, según se verá en el apartado dedicado a problemas.

Si f(x) está definida en [a, b], decimos que tiene un máximo absoluto en x₁ € [a,b] si f(x₁) >= f(x),para todo x € [a,b]. La función f(x) tiene un mínimo absoluto en el punto x₂ € [a,b] si f(x₂) >= f(x),para todo x € [a,b].

Hay otra propiedad que parece que debe cumplir una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a,b] que es la siguiente: la función, al dibujarse con un solo trazo en el intervalo cerrado, no puede tomar valores que crezcan indefinidamente tanto por arriba como por abajo (como podría hacer en un intervalo abierto); más bien, parece que los valores que toma deben estar limitados, es decir, que la función debe tener un máximo y un mínimo absolutos. Esto es lo que asegura el teorema de Weierstrass que dice:

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], tiene en [a,b] un máximo y un mínimo absolutos, al menos.

Tampoco dice nada el teorema sobre los puntos en los que la función alcanza los extremos ni cuántos de éstos tiene.

El teorema de Bolzano y el de Weierstrass son resultados que parecen intuitivos y evidentes pero demostrarlos rigurosamente es difícil, ya que es necesario usar propiedades "profundas" de la estructura de la recta real (habitualmente se demuestran usando la propiedad de existencia del supremo o la de los intervalos encajados). Las demostraciones se salen del nivel de este curso por lo que no aparecen aquí.

Bernhard Bolzano fué un sacerdote católico, filósofo y matemático checoslovaco, de ascendencia italiana, nacido y muerto en Praga (1.781-1.848).

Se adelantó a los analistas del siglo XIX en conceptos tales como función continua, criterios de convergencia de series, etc.

En su obra más importante "Paradojas del infinito" (publicada hacia 1.847) se reconoce por primera vez la necesidad de demostrar rigurosamente proposiciones aparentemente evidentes, aunque sus ideas son más filosóficas que matemáticas.

Contribuyó a la sistematización de la teoría de funciones y fué un precursor de la aritmetización del análisis, enunciando en 1.817 el teorema que estudiamos aquí.

Como filósofo, fué un profundo conocedor de la filosofía escolástica y uno de los fundadores de la fenomenología.

Fué profesor del Instituto Industrial y de la Universidad de Berlín, donde tuvo a H. E. Heine como alumno.

Introdujo el rigor matemático en el cálculo de variaciones y dió un ejemplo de función continua no derivable en ningún punto.

Investigó en diversos campos de las Matemáticas, destacando sobre todo, en análisis funcional y funciones analíticas y elípticas, siendo uno de los matemáticos que culminaron las investigaciones en torno a la idea de función y su aritmetización.