TEOREMA  DE WEIERSTRASS
Análisis
1. ENUNCIADO DEL TEOREMA
Teorema de Weierstrass: Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(X) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]. 

 

2.  JUGANDO CON EL TEOREMA. EJERCICIOS.

La primera escena es como la primera de la hoja del teorema de Bolzano a la que se ha añadido un control llamado y (círculo verde con interior rojo) que mueve una recta horizontal verde (de la que tenemos su "altura"), que nos permite ver en qué puntos se alcanzan el máximo o el mínimo y cuál es el valor de éstos, aproximadamente).

Todas las funciones representadas
en esta escena son derivables y por tanto continua continuas en toda la recta real y, en particular, en cualquier intervalo cerrado. Por ello, todas cumplen las hipótesis del teorema de Weierstrass y por tanto la tesis, es decir, todas ellas tienen al menos un máximo y un mínimo absolutos en cualquier intervalo cerrado.

 

1.- Dada la función f(x)=(3x4-4x3-12x2)/40, ¿cumple las hipótesis del teorema de Weierstrass en el intervalo [-1, 2.5] ?. En caso afirmativo, ¿cuáles son los puntos del intervalo en los que la función alcanza el máximo y el mínimo?, ¿cuáles son sus valores aproximados?

Tanto el máximo como el mínimo pueden no ser únicos, según veremos en el siguiente ejemplo:

2.- La función f(x)=(x4-8x2)/40 cumple las hipótesis del teorema de Weierstrass en el intervalo [-3.5, 3.5], ¿cuáles son los puntos del intervalo en los que alcanza los máximos y los mínimos?. (Quizá alcance algunos de ellos en los extremos del intervalo). Hallar sus valores aproximados.

Si no se cumplen las hipótesis del teorema, es decir, si falla la continuidad, la tesis puede cumplirse o no. Veamos un ejemplo, volviendo a usar la segunda escena:

Representar gráficamente la función f(x)=1/x. Hacer p=0, q=1, r=0, s=1, t=0). ¿Qué hipótesis del teorema de Weierstrass no cumple en el intervalo [-3, 3]?, ¿cumple la tesis? 

En la segunda escena se muestran dos ejemplos en los que no se cumple la hipótesis pero es cierta la tesis.

En la segunda escena aparecen representadas gráficamente dos funciones: la primera (de color rojo), la f(x), es la signo de, es decir, igual a -1 si x<0, a 0 si x es 0 y a 1 si x>0; la estudiarás en [-2 ,2]. La segunda (de color azul), la g(x) es la raíz cuadrada de (x2-1); la estudiarás en el intervalo [-3, 3].

Esta escena nos permite estudiar otras dos posibilidades:aquellas en las que falta la hipótesis de la continuidad
 
Como trabajamos con funciones elementales, solamente dejan de ser continuas donde no están definidas.

 

Seguimos con los ejercicios:

1.- ¿Cumple la función f(x) las hipótesis del teorema de Weierstrass en el intervalo [-2, 2]?, ¿y la tesis?. En caso afirmativo, dónde alcanza el (o los) máximo(s) y mínimo(s)?, ¿cuáles son sus valores?

2.- Contestar a las mismas preguntas para la función g(x) en el intervalo [-3, 3].  
       
           
  Valerio Chumillas Checa
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001