El ejemplo más sencillo de ecuación de segundo grado sin soluciones reales es, posiblemente, la ecuación x² + 1 = 0. Si la resolvemos, encontramos:

La raíz de menos uno se designa con la letra i, y se conoce como unidad imaginaria. Con esta nomenclatura, podemos decir que el conjunto de soluciones de la ecuación x² + 1 = 0 es {-i, i}. Si tenemos en cuenta que, por ejemplo,  se puede escribir como , tenemos ya una forma de expresar todas las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado. Por ejemplo:

La suma de un número real y un número imaginario se conoce como número complejo. Los números complejos son de la forma
p + q·i, con p i q reales, y se representan como puntos del plano de coordenadas (p, q).

En la escena adjunta se muestra la gráfica de la función f(x)=ax²+bx+c. Modifica los valores de los parámetros a, b y c, y observa los cambios que se producen en el número y valor de las raíces de la función.

Observa cómo se pasa sin solución de continuidad de las raíces reales a las imaginarias y viceversa.

4.1.- Representa sucesivamente en la escena las dos situaciones analizadas en la introducción de esta actividad y reproduce en tu cuaderno las gráficas. Plantea y resuelve las ecuaciones que permiten obtener las raíces de cada una de ellas.

        a) f(x) = x² + 1            b) f(x) = x² - 2x + 5

4.2.- Repítelo con las funciones:

        a) f(x) = 4x² + 8x + 5        b) f(x) = x² - 6x + 11

4.3.- Encuentra funciones que tengan como raíces:

        a) 1 - i  y  1 + i        b) -4 - 2i  y  -4 + 2i

Las funciones polinómicas de tercer grado tienen al menos una raíz real. Conocida una de ellas, r, podemos expresar la función como producto de dos factores:

Las raíces de ax² + b'x + c' pueden ser números reales o no, pero en cualquier caso serán raíces de la función f, así que podremos aplicar lo que hemos trabajado en la actividad anterior.

La gráfica que aparece en la escena corresponde a una función cúbica. Se puede modificar el valor de la raíz r desplazando directamente el punto sobre el eje de abscisas o, alternativamente, utilizando las flechas de cursor. Los valores de a, b y c permanecerán constantes.

También debes observar qué efecto producen sobre la gráfica de la función y sobre las raíces, los cambios en los valores de a, b y c.

5.1.- Resuelve de manera algebraica la ecuación x³ - 4x² + x + 6 = 0 y representa la situación en la escena. Anota el proceso y las conclusiones en tu cuaderno y haz lo mismo con el ejercicio siguiente.

2.2.- Resuelve de manera algebraica la ecuación x³ - 4x² + 9x - 10 = 0 y representa la situación en la escena.