Una función cuadrática es aquella que se define en forma explícita mediante un polinomio de segundo grado:

con , donde a, b y c son números reales.

Como sabemos, el número de puntos de intersección de una función cuadrática con el eje de abscisas, puede ser 0, 1 o 2, dependiendo del número de soluciones reales de la ecuación . Las soluciones de esta ecuación son las abscisas de estos puntos de intersección. Se denominan ceros o raíces de la función.

En la escena adjunta se muestra la gráfica de la función f(x)=ax²+bx+c. Modifica los valores de los parámetros a, b y c, y observa los cambios que se producen en el número y valor de las raíces de la función.

Los casos b = 0 y c = 0 son los más sencillos de interpretar: Si b = 0, tenemos f(x) = ax2 + c; si c = 0, tenemos f(x) = ax2 + bx

1.1.- Representa sucesivamente en la escena tres funciones diferentes, con c = 0. Escribe las funciones en tu cuaderno de trabajo y comprueba que las raíces que muestra la escena son efectivamente las soluciones de la ecuación ax²+bx=0.

1.2.- Con c = 0, ¿es posible encontrar situaciones con una sola raíz? ¿Cuáles? ¿Por qué? ¿Y sin ninguna raíz? Redacta las conclusiones en tu cuaderno.

1.3.- Representa sucesivamente en la escena tres funciones diferentes, con b = 0. Escribe las funciones en tu cuaderno de trabajo y comprueba que las raíces que muestra la escena son efectivamente las soluciones de la ecuación ax²+c=0.

1.4.- Con b = 0, ¿es posible encontrar situaciones con una sola raíz? ¿Cuáles? ¿Por qué? ¿Y sin ninguna raíz? Redacta las conclusiones en tu cuaderno.

En general, una función polinómica de grado n puede tener un número de raíces reales que, como máximo puede llegar a ser igual a n. La siguiente escena te ayudará a visualizar esta propiedad mediante diferentes ejemplos.

Inicialmente se muestra la gráfica de la función f(x)=0.5x³+2.5x²+3x. Observa la información que ofrecen los textos de la escena y mueve el punto que aparece sobre el origen de coordenadas: podràs situarlo sobre los otros puntos de intersección de la gráfica con el eje de abscisas, para visualizar el valor de cada una de las raíces de la función.

Podrás estudiar otros ejemplos variando el valor del parámetro "Caso" situado en la parte inferior de la escena.

Fíjate especialmente en los tres primeros ejemplos: se presentan sucesivamente casos de funciones polinómicas de grado 3 con 3, 2 y 1 soluciones reales, respectivamente.

2.1.- Resuelve de manera algebraica las ecuaciones 0.5x³+2.5x²+3x=0; 0.25(-x³+x²+5x+3)=0; 0.2(x³-3x²+3x-1)=0, y comprueba en cada caso que las soluciones coinciden con las raíces que muestra la escena. Anota el proceso y las conclusiones en tu cuaderno y haz lo mismo con los ejercicios siguientes.

2.2.- Entre los ejemplos de grado 4 que muestra la escena no hay ninguno con 3 raíces reales. Pon tú un ejemplo para ese caso.

2.3.- Los últimos dos ejemplos son de grado 6, con 3 y 6 raíces reales, respectivamente. Pon tú dos ejemplos: el primero con una sola raíz, y el segundo sin raíces reales.

2.4.- Las funciones polinómicas de grado par pueden carecer de raíces reales. Investiga qué sucede con las de grado impar.

Hemos visto en los apartados anteriores que una función polinómica puede tener tantas raíces reales como indique su grado. Y sabemos también que el número de raíces reales puede ser inferior al grado de la función. Así, por ejemplo, una función polinómica de segundo grado puede tener 0, 1 o 2 raíces reales; y una de tercer grado puede tener 1, 2 o 3.

Conocidos el grado y las raíces reales, podremos encontrar infinitas funciones polinómicas de la forma

donde e₁, e₂, ..., e_n son exponentes que indican el grado de multiplicidad de las raíces; x₁, x₂, ..., x_n son las n raíces diferentes de la función; y k indica un número real cualquiera.

Realiza la siguiente actividad teniendo en cuenta lo que acabamos de ver. Intenta encontrar solución para todos los casos posibles e, incluso, soluciones diferentes para un mismo caso.

En el cuadro de edición inferior aparece inicialmente la expresión y=f(x). Sustituye f(x) por una expresión polinómica del grado que se indica, de forma que tenga las raíces que aparecen representadas. Cuando pulses la tecla Enter, podrás ver la gráfica de la función y comprobar si cumple las condiciones impuestas.

Probablemente te resultará útil emplear las coordenada genéricas de las raíces: se designan con las expresiones A.x, B.x y C.x.

Una vez realizada la actividad, redacta las conclusiones en tu cuaderno y escribe dos ejemplos diferentes para cada uno de los siguientes casos:

3.1.- Función polinómica de segundo grado con:

        a) Dos raíces: -2 y 3        b) Una raíz: 5        c) Ninguna raíz real

3.2.- Función polinómica de tercer grado con:

        a) Tres raíces: , 0 y         b) Dos raíces: -3 y 2        c) Una sola raíz: -1

3.3.- Función polinómica de grado 4 con:

        a) Cuatro raíces: -2, -1, 2 y 4    b) Tres raíces: -1, 0 y 1    c) Dos raíces: 3 y 5    d) Una raíz: 1    e) Ninguna raíz real