FUNCIONES RACIONALES
Análisis: Procedimiento para analizar una función
 
1. FUNCIONES RACIONALES
Una función racional es  f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible.

Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables:

  • El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador.

  • Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x).

  • Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia +¥ y la otra a  -¥. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia +¥ o hacia -¥.

  • Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua, la misma, tanto si x ® +¥ como si x ® -¥

  • Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes  respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).

  • Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.

  • Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.

 
En el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la función f(x)=x3/(x2-1) que es analizada en el ejemplo 1.

Variando el parámetro paso de 1 a 7 irán apareciendo en la escena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1: Dominio

Paso 2: Simetría

Paso 3: Cortes con los Ejes coordenados

Paso 4: Regiones

Paso 5: Asíntotas

Paso 6: Puntos singulares y de inflexión.

Paso 7: Trazado de la curva

 

Obsérvese que no es necesario analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento a través del signo de la derivada, ya que al disponer de las regiones, las asíntotas y los puntos de máximo, mínimo y de inflexión, estos se deducen fácilmente: 

x (-¥,-Ö3) (-Ö3,Ö3) (Ö3,+¥)
f(x) CRECE DECRECE CRECE

Los intervalos de concavidad y convexidad también se deducen fácilmente a partir de los elementos obtenidos.

x (-¥,-1) (-1,0) (0,1) (1,¥)
f(x) CÓNCAVA CONVEXA CÓNCAVA CONVEXA

Obsérvese cómo la curvatura cóncava o convexa cambia en el punto de inflexión o en los de discontinuidad.
Ejemplo analizado 1:

Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1)

a) Dominio: La función no esta definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1}

b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica respecto del origen (0,0)

c) Cortes con los ejes:

  • Eje OX: f(x)=0 <-> x3=0 -> x=0
  • Eje OY: f(0)=0 -> y=0

d) Regiones:

x (-¥,-1) (-1,0) (0,1) (1,+¥)
x3 - - + +
x+1 - + + +
x-1 - - - +
f(x) - + - +

e) Asíntotas:

  • Verticales: x=-1, x=1

  • Oblicuas: 

=1; =0 «y=x

f) Puntos singulares:

  • f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)2

  • f'(x)=0 « x2(x2-3)=0 ® x=0; x=Ö3; x=-Ö3

  • f(0)=0; f(-Ö3)=-3Ö3/2; f(Ö3)=3Ö3/2

  • f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3

  • f''(-Ö3)<0; x=-Ö3 es un máximo relativo

  • f''(Ö3)>0; x=Ö3 es un mínimo relativo

  • f''(0)=0, x=0 es un posible punto de inflexión 

g) Puntos de Inflexión

  • f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3

  • f''(x)=0 « 2x3+6x=0 « 2x(x2+3)=0 « x=0. Este es único punto de inflexión posible, para el que tenemos que comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir a  f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta comprobar que f''(x) cambia de signo al pasar por x=0:

En efecto f''(0-h)=f''(-h)>0 y f''(0+h)<0 con h>0 y arbitrariamente pequeño.

La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con tangente horizontal.

Ejercicios

Analizar las siguientes funciones racionales y representar su gráfica.

El programa al margen permite comprobar los resultados del análisis. Reemplazar las entradas editables f(x), a1(x), a2(x), a3(x) y a4(x) por las expresiones correspondientes a la función y hasta cuatro asíntotas posibles.

 

  f(x)

Solución
1 (x+1)/(2x2-x-1)

2 (x3+x2)/(2x2+x)

3 (x2-2x+2)/(x-1)

4  x/(x-2)2

5 |x|/(x+1)

6 (1-|x|)/(1+|x|)

       
           
  Ángel Cabezudo Bueno
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

 

Soluciones:

1:f(x)=(x+1)/(2x2-x-1)

  • Dominio: No está definida en x=-1/2 yen x=1
  • Cortes: (0,-1), (-1,0)
  • Regiones:

    f(x)<0: (-¥,-1)U(-1/2,1)

    f(x)>0: (-1,-1/2)U(1,+¥)

  • Asíntotas:

    Horizontal: y=0

    Verticales: x=-1/2, x=1

  • Puntos singulares:

    Máximo: (0,-1)

    Mínimo: (-2,-1/9)

Volver a los enunciados

2: f(x)=(x3+x2)/(2x2+x)

  • Dominio: No está definida en x=-1/2 y en x=0

  • Simplificando la expresión obtenemos: f(x)=(x2+x)/(2x+1)

  • Cortes con los ejes: (-1,0). 

  • Regiones: 

f(x)<0: (-¥,-1)U(-1/2,0)

f(x)>0: (-1,-1/2)U(0,+¥)

  • Asíntotas:

    Vertical: x=-1/2

    Oblicua: y=0.5x+0.25 La curva no la corta. Se aproxima por debajo cuando x ® +¥; se aproxima por arriba cuando x ® -¥

  • Puntos singulares: No tiene.

  • Puntos de inflexión: No tiene

    f''(x)=-2/(2x+1)3. Cóncava: x > -1/2; convexa: x < -1/2

Volver a los enunciados

3: f(x)=(x2-2x+2)/(x-1)

  • Dominio: No está definida en x=1

  • Cortes con los ejes coordenados: (0,-2)

  • Regiones:

    f(x)<0:(-¥, 1); f(x)>0: (1,+¥)

  • Asíntotas:

Vertical: x=1

Oblicua: y=x-1. La curva no la corta. Se aproxima por arriba para x®+¥; se aproxima por debajo para x®-¥.

  • Puntos singulares:

    Mínimo (2,2)

    Máximo (0,-2)

  • Puntos de inflexión: No tiene. f''(x)=2/(x-1)3. Cóncava: (-¥,1); convexa: (1,+¥)

Volver a los enunciados

4: f(x)= x/(x-2)2

  • Dominio: No está definida en x=2

  • Cortes con los ejes coordenados:(0,0)

  • Regiones: f(x)<0: (-¥,0); f(x)>0: (0,+¥)

  • Asíntotas:

    -Horizontal: y=0. La curva no la corta.

    -Vertical: x=2

  • Puntos singulares: Mínimo (-2,-1/8)

  • Puntos de Inflexión: No tiene. f''(x)=4/(x-2)2 > 0 para todo x: Convexa

Volver a los enunciados

5: f(x)=|x|/(x+1)

Se descompone en dos trozos:

f(x)=x/(x+1), para x³0

f(x)=-x/(x+1), para x<0

El análisis se hace separadamente, en cada trozo.

  • Dominio: No está definida en x=-1

  • Cortes con los ejes coordenados: (0,0)

  • Regiones: f(x)<0: (-¥,-1); f(x)>0: (-1,+¥)

  • Asíntotas:

    -Horizontales: y=1 por la derecha sin cortarla. y=-1 por la izquierda sin cortarla.

    - Vertical: x=-1

  • Información de la derivada primera: f'(x)=-1/(x+1)2, si x<0; f'(x)=1/(x+1)2, si x>0. No existe en x=0 porque f'-(0)¹f'+(0): existe un punto anguloso y es mínimo local. 

f(x) es decreciente para x<0 y creciente para x>0: No hay singularidades.

  • Información de la derivada segunda: f''(x)=2/(x+1)3, si x<0; f''(x)=-2/(x+1)3, si x>0. 

Cóncava: (-¥,-1)U(0,+¥). Convexa: (-1,0)

No está definida f''(0), pues f''-(0) ¹f''+(0) pero x=0 es punto de inflexión al cambiar la curvatura de convexa a cóncava.

Volver a los enunciados

6: f(x)=(1-|x|)/(1+|x|)

Se descompone en dos trozos:

f(x)=(1-x)/(1+x), para x³0

f(x)=(1+x)/(1-x), para x<0

El análisis se hace separadamente, en cada trozo.

  • Dominio: Está definida para todo x en R

  • Cortes con los ejes coordenados: (0,1), (1,0), (-1,0)

  • Regiones: f(x)>0: (-1,1); f(x)<0: (-¥,-1)U(1,+¥)

  • Asíntotas: 

- Horizontales: y=-1 por la derecha y por la izquierda, sin cortarla y con aproximación por arriba.

- Verticales: No hay

- Oblicuas: No hay

  • Información de la derivada primera: f'(x)=-2/(1+x)2, si x>0; f'(x)=2/(1-x)2, si x<0. No existe en x=0 porque f'-(0)¹f'+(0): existe un punto anguloso y es máximo local.  No hay puntos singulares.

  • Información de la derivada segunda:f''(x)=4(1+x)3, si x>0; f''(x)=4(1-x)3, si x<0. Por tanto f''(x)>0 en su dominio y f(x) es convexa en su dominio. No existen puntos de inflexión.

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