FUNCIONES POLINÓMICAS
Análisis: Procedimiento para analizar una función
 

1. GENERALIDADES
Al analizar una función polinómica P(x) de grado n debemos de tener en cuenta:
  • Su dominio es R  y es continua y derivable en él.

  • Si todos los términos son de grado par, la función es simétrica respecto del eje OX. Si todos los términos son de grado impar la función es simétrica respecto del origen de coordenadas. 

  • A lo más tiene n cortes con el eje OX, puesto que la ecuación P(x)=0 tiene como máximo n raíces. La dificultad de encontrarlos está en resolver ecuaciones de grado superior al 2.

  • Si n >1, no tiene asíntotas y presenta dos ramas parabólicas.  El signo de la rama infinita es el que corresponda al termino de mayor grado axn

  • Intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de tangente horizontal (singularidades)

  • Los puntos de inflexión.

No tiene otros elementos de interés.

 
 

En el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la función

f(x)=0.25x4-2x2+3

que es analizada en el ejemplo 1.

Variando el parámetro paso de 1 a 9 irán apareciendo en la escena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1; Dominio

Paso 2: Simetría

Paso 3: Cortes con el eje OX

Paso 4: Corte con el eje OY

Paso 5: Regiones

Paso 6: Ramas parabólicas

Paso 7: Puntos singulares

Paso 8: Puntos de Inflexión

Paso 9: Trazado de la curva

Ejemplo analizado 1:

Analizar y representar la función f(x)=0.25x4-2x2+3

a) Dominio: R

b) Simetría: Por ser función par, es simétrica respecto del eje OX.

c) Corte con los ejes:

  • Cortes con OX: 0.25x4-2x2+3=0  x=6, 2
  • Corte con OY: f(0)=3

d) Regiones: El signo en cada intervalo se obtiene fácilmente pues basta calcularlo en uno cualquiera de ellos y se va alternando.

x (-,-6) (-6,-2) (-2,2) (2,6) (6,+)
y + - + - +

e) Ramas parabólicas:

  • Para x , f(x) +

f) Puntos singulares:

  • f'(x)=x3-4x

  • f'(x)=0 x(x2-4)=0 x=0, x=2, x=-2

  • f(0)=3, f(2)=-1, f(-2)=-1

  • f''(x)=3x2-4

  • f''(0)=-4 <0 Máximo (0,3)

  • f''(-2)=8 >0 Mínimo (-2,-1)

  • f''(2)=8 >0 Mínimo (2,-1)

g) Puntos de inflexión:

  • f''(x)=0   3x2-4=0 x=4/3

  • f(4/3)=7/9; f(-4/3)=7/9

  • f'''(x)=6x

  • f'''(4/3) >0 Inflexión: (4/3,7/9)

  • f'''(-4/3)<0 Inflexión: (-4/3,7/9)

Ejercicios:

Analizar las siguientes funciones,

1: f(x)=0.5x3-2x

2: f(x)=x3-x2

3: f(x)= x3-3x2+3x+2

El programa siguiente, permite representar funciones polinómicas hasta de grado 4, con las cuales podemos experimentar suficientemente con las propiedades de las funciones polinómicas: P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e

Modificando los parámetros a, b, c, d y e podemos obtener su representación.

El parámetro deriv puede variar de 0 a 3 y con él vemos la función derivada hasta del tercer orden.

Para detectar los puntos críticos  visualizar f '(x) y posicionarse en los cortes de ésta con el eje OX. Una vez hecho comprobar el signo de la f ''(x) para el máximo y para el mínimo.

Para detectar los puntos de inflexión visualizar f ''(x) y posicionarse en los cortes con el eje OX.  Una vez hecho comprobar que f '''(x) no se anula.

Comprobar que el signo de la rama parabólica es el que le corresponda al término de mayor grado axn

Para el ejemplo analizado n 1 al margen derecho, verificar con el programa introduciendo

a=0.25, b=0, c=-2, d=0, e=3

Para el ejemplo analizado n 2, verificar con el programa introduciendo los parámetros

 a=1, b=c=d=0, e=1

Comprobar las soluciones de los ejercicios propuestos.

Ejemplo analizado 2:

Analizar y representar la función f(x)=x4+1

a) Dominio: R

b) Simetría: Como no es ni par ni impar no hay simetría ni respecto del eje OX ni respecto del origen.

c) Cortes con los ejes:

  • Eje OX: f(x)=0 x4+1=0   x4=-1 No tiene
  • Eje OY: f(0)=1

d) Regiones:

Al no tener corte con el eje OX, la función tiene el mismo signo en todo R: x4+1 > 0

e) Ramas parabólicas:

  • Para x , f(x) +

f) Puntos singulares:

  • f'(x)=4x3

  • f'(x)=0   4x3=0 -> x=0

  • f(0)=1

  • f''(x)=12x2

  • f''(0)=0

  • f'''(x)=24x

  • f'''(0)=0

  • fiv(x)=24

  • fiv(0)=240

Como el orden de derivación para el que la derivada es distinta de cero es n=4, par y fiv(0)>0 se trata de un Mínimo (0,1).

Al no tener punto de inflexión la curvatura no cambia en todo R: Es una función convexa.


       
           
  Ángel Cabezudo Bueno
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

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